Es gibt doppelt- und einfachwirkende Zylinder.
Doppeltwirkende Zylinder kann man von beiden Seiten mit Druck beaufschlagen. Je nachdem von welcher Seite Druck ansteht bewegt er sich dann.
Bei einfachwirkenden Zylindern wird bloß eine Seite mit Druck beaufschlagt.
Steht kein Druck an wird er von einer Feder zurückgegrückt.

Kompressoren (deine Pumpen) erzeugen den notwendigen Druck für die Bewegung. Fast alle Kompressoren haben zusätzlich einen Drucklufttank.
Das kannst du dir als eine Art Speicher vorstellen. Bei jeder Kolbenbewegung wird ja eine gewisse Menge an Luft "verbraucht". Dadurch sinkt wiederum der Druck im Tank. Ist dieser zu stark gefallen läuft der Kompressor wieder an.

Mit einem Drucklufttank allene kann man auch Pneumatik betreiben. Das ist dann etwa so wie ein Akku. Ist der Druck nicht mehr ausreichend mußt du ihn wieder "aufladen".

Pneumatikzylinder arbeiten meißt mit ca. 6 Bar.
Es wäre aber nicht gut den Tank auf 6 Bar Druck zu bringen. Nach ein paar Bewegungen wäre der Druck schon so startk gefallen das keine Bewegung mehr möglich ist.
Darum würde man eher einen Tank mit viel höherem Druck benutzten.
Dann brauchst du aber noch einen Druckminderer da die Zylinder den hohen Druck im Tank nicht aushalten würden.