Mindestlänge Gelenk berechnen

[JanEssen]

Fast

Die beiden Annahmen sind richtig. Allerdings ist die Strecke vom Endpunkt A bis C = B. Das muss ich ja nicht ausmessen. Die Geraden A und B sind unveränderlich in der Länge. Allerdings bewegt sich der untere Punkt von B auf einer Geraden bis zum definierten Punkt C.

Die Frage ist daher, wie weit muss das Gelenk (A / B oben an der Spitze) vom Endpunkt B (unten) mindestens entfernt sein, um die genannte Bewegung auf der Gerade zu C ausführen zu können.

Noch mal eine Skizze eines Beispiels, wo der fragliche Punkt schon zu nah ist. In der Zeichnung (gestrichelt) ist B = C. Stell dir die Bewegung nun vor. Der untere Punkt von B kann C nie erreichen.

[Gnom67]

Um deine Frage zu beantworten, fehlen noch Angaben. Denn es ist nichts über die Position von c bekannt. Man bräuchte mindestens noch die Höhe von c und den horizontalen Abstand vom Ursprung. und vor allem braucht man konkrete Zahlen, denn die Aufgabe ist nicht in jedem Fall lösbar - wenn überhaupt. Es hängt viel von den Winkeln und Längen der Teile ab.
Übrigens wäre es gut, wenn du Strecken und Punkte eindeutig benennst. Hier geht alles ein wenig durcheinander.
Außerdem ist hoffentlich klar, dass c nur an einem Punkt senkrecht verlaufen kann. Bei Drehung von a um sein Gelenk muss b seinen Winkel ändern, weil das Gelenk zwischen a und b seine Höhe ändert und ein konstantes b dann nicht mehr die horizontale c erreichen kann.
Die kürzeste Entfernung von B zu A ist nicht möglich, da dann C nicht erreicht werden kann.
Die kürzeste Entfernung von C zu A geht. Je weiter man sich auf c nach recchts bewegt, desto höher rutscht A. Bis zu einer Maximalhöhe. Diese liegt hier wohl eher zufällig genau senkrecht über B.
Bei anderen Längenverhältnissen kann die Lösung aber völlig anders aussehen.

[JanEssen]

Hey, danke für deine Nachricht.

Ich habe die Skizze noch mal überarbeitet und alle bekannten Maße eingetragen sowie die Punkte genauer bezeichnet.

Auf der Basis noch mal kurz zum Bewegungsablauf:

a1 und a2/b2 sind bewegliche Gelenke. Gelenk a1 ist an dem genannten Punkt "fix", kann sich also nicht horizontal bewegen. Gelenk a2/b2 ist beweglich, allerdings wegen des festen Punktes a1 nur auf der Kreisbahn, die durch a als Radius bestimmt wird. a ist nicht bekannt.

Die Bewegung verläuft so:

Die Skizze zeigt die Startposition. b ist senkrecht und a2/b2 liegt senkrecht über c1 bzw. b1.

Nun bewegt sich b1 mit dem Startpunk c1 nach links auf der Horizontalen c bis zum Punkt c2. c ist bekannt.

Bei dieser horizontalen Bewegung muss sich a2/b2 notgedrungen nach rechts auf der Kreisbahn verschieben.

Die Frage lautet nun: Wie lang muss b mindestens sein, damit die Bewegung funktioniert? Wenn ich b kenne, kann ich auch a bestimmen. Die Länge b ist hier entscheidend.

[Holomino]

Nun ja, die erste Gleichung ist direkt aus Deiner Zeichnung ablesbar:
1) (60+b)²+ 80²=a²

Wenn Du nun a soweit schwenkst, dass a durch c2 geht, würden die Linien b und a übereinanderliegen. Auch hier kannst Du über den Pythagoras einsetzen:
2) (a-b)² = 60² + (80-20)²
also a-b = 85 (so ungefähr)

Wenn mich nicht alles täuscht, sollte der Rest Einsetzen und quadratisches Ergänzen sein.
Wenn nicht, hab ich's immer noch nicht verstanden.

[Gnom67]

Hm, offenbar ist es sehr einfach, das ergibt sich aus "sollte der Rest Einsetzen und quadratisches Ergänzen sein". Also einfach nur ein wenig einsetzen und quadratisch ergänzen... fertig! Der Ansatz ist aber der gleiche, den ich mit ausgedacht habe. Und 85 für a-b kommt ziemlich gut hin.

Mein Eindruck ist folgender:
Für jedes beliebige gewählte b senkrecht über c1 ergibt sich eine länge von a: wurzel(80^2+(60+b)^2)
Für die Länge a kann man die kürzeste Strecke von c2 zur Kreisbahn berechnen: a-wurzel(60^2+60^2) = a-wurzel(7200)
Damit die Kreisbahn von c2 aus überhaupt mit b erreicht werden kann, muss diese Strecke kleiner als b sein, also

a-wurzel(7200) < wurzel(80^2+(60+b)^2)

Das ist formal sicher nicht ganz einfach. Ich habs mir leicht gemacht und die Zielwertsuche in Excel verwendet. Demnach muss b größer als 56,33 sein.
Wenn ich das Maßstabsgetreu einzeichne, kommt es auch gut hin.



kürzere b können den Punkt c2 nicht erreichen.
Ich bin ziemlich sicher, dass b auch nicht zu lang werden darf. Stellt man sich b sehr groß vor, dann verläuft die Kreisbahn durch a2 beinahe horizontal. Es ist nicht möglich, auf der Kreisbahn (quasi horizontal) nach rechts zu gehen und gleichzeitig von c1 nach c2 horizontal nach links zu gehen, ohne die Strecke b dabei zu verlängern.

[Holomino]

Hm, offenbar ist es sehr einfach, das ergibt sich aus "sollte der Rest Einsetzen und quadratisches Ergänzen sein". Also einfach nur ein wenig einsetzen und quadratisch ergänzen... fertig!

Ja, nich?

Gleichung 2) umgestellt zu:
a=85+b

Eingesetzt in 1):
(60+b)²+ 80² = (85+b)²

Aufgelöst:
3600+120b+b²+6400=7200+170b+b²

Vereinfacht (fällt sogar der quadratische Term weg):
10000+120b=170b+7200

Vereinfacht:
2800=50b

Vereinfacht:
b=56

in Gleichung 2) eigesetzt:
a=b+85= 141

Sportiv kopfgerechnet, also ohne Gewähr


Kann aber auch sein, dass ich es falsch verstanden habe...
oder mich verrechnet...
oder was übersehen...
oder...
oder auch nicht?

[Gnom67]

Ne, stimmt wohl so. Einfacher als ich vermutet habe.

Jetzt würd ich ja gerne noch wissen, was JanEssen damit eigentlich vorhat...