Deine Ideen dürften nicht funktionieren, der Wechselrichter 12V DC auf 230V AC brucht kontinuierlich 12V zum funktionieren. Mit der PWM würdest du effektiv die Spannung absenken, außerdem ist es wahrscheinlich, dass die Elektronik im Wechselrichter die PWM nicht verträgt. Dein Bipolartransistor sollte dabei allerdings als erstes in Rauch aufgehen, da dort einige Ampere fließen sollten (150W bei 12V sind 12,5A, Wirkungsgrad des Wechelrichters außer Acht gelassen). SSD-Relais kenn ich erstmal keine, die PWM-fähig sind. Normalerweise sind da auch nur Optotriac, Tiefpass und Snubber drin, bei einem High-Signal wird der Triac durchgeschaltet und der geht erst beim nächsten Nulldurchgang der 230V wieder aus. Für PWM mit Funksteckdose sehe ich auch eher schwarz.

Zur Leistungssteuerung von Wechselstromverbrauchern werden normalerweise Dimmer verwendet, die mit einem Triac und Phasenanschnittsteuerung arbeiten. Es gibt zwar Dimmerbausätze, die werden allerdings über ein Potentiometer gesteuert, mit einem Arduino wird das eher schwierig. Ich würde dir auch davon abraten, etwas mit Netzspannung zu machen, da dort bei einem Fehler doch einiges passieren kann.