Also erstmal alle Angaben ohne Gewähr - Meine Ausbildung ist dann doch schon ein paar Jährchen her.

Wie beginnt der Oszillator zu schwingen ?
Ich denk mal, das das hier genauso passiert wie bei vielen Oszillatorschaltungen.
Durch Bauteiletoleranzen und Rauschen.
Das Rauschen wird Verstärkt und enthält dann auch die Frequenz des RC Gliedes auf der dann die Oszillation einsetzt.

Was für ein Ausgangssignal stellt sich an -MP1 ein ?
Da kann alles kommen von Gleichspannung ( Verstärkung ist zu klein ) über eine Sinusschwingung ( Verstärkung passt ) bis zu einer begrenzten Rechteckschwingung ( Verstärkung zu groß )

Regelt das Poti R12 (Planquadrat D3) die Amplitude, wenn ja, wie (Dioden R13 und R15) ?
Das ist nicht allzu schwer.
Über den Kondensator und Diode -R15 wird die positive Halbwelle gegen GND abgeleitet.
Die negative Halbwelle der Schwingung lädt über -R13 den Kondensator -C5 negativ auf.
Anteile dieses negetiven Potentials weden über den Trimmer -R12 auf das Gate eines selbstleitenden FET's gegeben und erhöhen damit seinen Drain Source Widerstand.
Wenn alles richtig abgeglichen ist, sollte dann am Ausgang ein sinusförmiges Signal anliegen.
Der Klirrfaktor wird mit der Amplitude steigen und irgendwann durch den Operationsverstärker werden dann die Spitzen der Sinuswelle gekappt.
In ganz frühen Zeiten hat man zur Amplitudenregulation Glühlampen verwendet, die bekanntermassen einen PTC Widerstand darstellen.