Hallo,
Zeichne mal einen kompletten Schaltplan von dem was du da zusammengelötet hast und mache Fotos von deinem Aufbau.
Sobald ich [...] z.B. einfach einen Messpin vom Multimeter anhalte [...] oder ein großes Netzteil 20 cm weiter schalte fallen mir die Ausgänge der HC595 ab.
Das klingt nach kapazitiver Einkopplung. Ich tippe darauf, dass ein Eingang des HC595 unbeschaltet (=offen) ist oder nur an ein Signal mit open-Collector angeschlossen ist. Bei CMOS natürlich fatal. Wenn ein Schaltplan vorliegt, erkennt man das dann sofort
Grüße, Bernhard