Danke für die Hilfe. Es funktioniert jetzt. Hier ein kleiner ausschnitt.

Schnittstelle.DataReceived += new SerialDataReceivedEventHandler(Schnittstelle_DataR eceived);
}


private void Schnittstelle_DataReceived(object sender, SerialDataReceivedEventArgs e)
{
Dateneingang = Schnittstelle.ReadExisting();
this.BeginInvoke(new EventHandler(DoUpdate));
}

private void DoUpdate(object s, EventArgs e)
{
richTextBox1.AppendText(Dateneingang); // schreibe Daten von Dateneingang(string) in Textbox
}