Die extra Steuerwicklung könnte etwas helfen, aber auch nicht so viel. Bei der Version mit den Bipolartransistoren braucht man die, um die Spannung zu reduzieren, denn man braucht da nur eine eher kleine Spannung (z.B. 3 V) und mehr als etwa 5 V dürfen es nicht sein (Grenze für negatives U_BE). Mit den MOSFETs braucht man dagegen einen größeren Spannungshub, und da passen die 16-24 V schon so etwa, wenn die Spannung zusätzlich beschränkt wird.

Damit die Schaltung anschwingt muss man dafür sorgen das nicht beider FETs aus sind, sondern eher ein kleine Strom im linearen Bereich fließt, wenn die Schaltung noch nicht schwingt. Mit der richtigen GND Verbindung statt C5/C6 kommt das so ja schon hin. Es fließt sogar eher schon zu viel Strom, wie man an dem großen Peak am Anfang sieht.

Von der Tendenz würde ich eine eher kleinere Induktivität beim Trafo und dafür einen größen Kondensator nehmen.

Der Royerconverter ist nicht wirklich für wechselnde Last geeignet: bei zu wenig Last ist L1 zu klein, und bei zu viel Last schwingt die Schaltung ggf. nicht an. In Grenzen könnte eine zusätzliche kleine Induktivität zur Last hin helfen.