Mathe: Bogenmaß und Gradmaß

[Zwerwelfliescher]

Hallo,
ich hoffe dieses Thema passt hier rein, falls nicht, bitte verschieben.

In der Schule machen wir gerade Drehstromtechnik. In unserem Technik-Mathebuch gibt es Aufgaben zu Winkel und Winkelfunktionen. Dort steht in einem roten Kasten, dass man bei dem Taschenrechner den Modus ändern muss:
Taschenrechner-Modus: DEG --> Angabe im Gradmaß
Taschenrechner-Modus: RAD --> Angabe im Bogenmaß

Ich kann bei meinem Taschenrechner (Casio FX-86DE Plus) auch den Modus umstellen, aber das hat kein Einfluss auf das Ergebniss. Woran liegt das? Ich möchte später keine Fehler machen, falls ich im falschen Modus bin.

Vielleicht könnt Ihr mir helfen.

mfg
Flexxx

[PICture]

Hallo!

Woran liegt das?

Das ist richtig, weil Berechnungsergebnis für Zahlen von Einheiten unabhängig ist.

[oberallgeier]

... DEG --> Gradmaß ... RAD --> Bogenmaß ... Modus umstellen ... kein Einfluss auf das Ergebniss ...

Hmmmm. WENN das so stimmt, dann stimmt Dein Taschenrechner nicht. WENN Deine Behauptung für ALLE möglichen Operationen gilt.

Bei meinem Taschenrechner geht es so:
A) Einstellung ist DEG
i) 0,7854 * 0,7854 = 0,6189
ii) wurzel(0,7854) = 0,8862
ii) sin (0,7854) = 0,0137
B) Einstellung ist RAD
i) 0,7854 * 0,7854 = 0,6189
ii) wurzel(0,7854) = 0,8862
iii) sin (0,7854 ) = 0,7071

UUUuuups - wirst Du sagen. WENN Dein Taschenrechner nicht defekt ist, dann rechnet er alles - bis auf Winkelfunktionen - gleich, egal ob DEG oder RAD. Und dann bekommst Du das obige Ergebnis. DENN: bei DEG rechnet er in Degree - das ist basic german und heisst eigentlich Grad in der Bedeutung: 90° ist ein rechter Winkel, ein Halbkreis sind dann 180°. RAD dagegen ist die Angabe von Winkeln im Bogenmaß - sprich in radiant. Hier hat der rechte Winkel den Wert von 1,5708 (eigentlich mit der Einheitenangabe rad), der Halbkreiswinkel hat den Wert 3,1415926... das kennst Du als Kreiszahl Pi (π).

Warum diese Anmerkung in der Klammer "eigentlich mit der Einheitenangabe rad"? Warum "eigentlich"? Weil die Angabe in Radiant die Dimension 1 hat. Landläufig nennt man das dimensionslos.

Wieso ist diese Angabe dimensionslos? Weil die Angabe des Winkels in Radiant eine dimensionslose Zahl ist. Man zeichnet am betrachteten Winkel einen Kreis mit dem Radius 1 - die Längeneinheit wird jetzt beliebig gewählt: Meter, Millimeter, Zoll, Werst oder was auch immer. Nun wird gemessen, wie lang der Kreisbogen ist, der im Winkel mit dem Radius 1 darstellbar ist. Diese Länge wird entlang des (krummen) Kreisbogens gemessen. Dann dividiert man die Bogenlänge durch den Radius - es kürzen sich die beiden Längendimensionen raus, übrig bleibt die Angabe im Bogenmass - beispielsweise für den Vollkreis 2*Pi - weil ja der Kreisumfang D*Pi ist - und D ist bekanntlich 2*Radius. Dieses Abmessen des Kreisbogens entlang einer Linie könnte man sich so vorstellen, als rolle man den Bogen auf einer Geraden ab, so:

......
......Siehe Wikipedia - Kreiszahl

Ist etwas lang zu erklären, gelle? Hättste in der Schule aufgepasst, dann wüsstest Du das (hoffe ich für Deine Schule).

... Modus umstellen ... hat kein Einfluss auf das Ergebniss ...

Stimmt nur so lange, wie Du keine Winkelfunktionen rechnest. Diese beiden modi stehen für die Angabe des Winkels . . . .

[Zwerwelfliescher]

Hi, danke für deine ausführliche Antwort.

Ist etwas lang zu erklären, gelle? Hättste in der Schule aufgepasst, dann wüsstest Du das (hoffe ich für Deine Schule).

So wurde es in der Schule nicht erklärt. Dort haben wir einfach eine Formel, die wir umstellen müssen und einsetzen.

WENN Dein Taschenrechner nicht defekt ist, dann rechnet er alles - bis auf Winkelfunktionen - gleich, egal ob DEG oder RAD.

Das stimmt. Solange ich keine Winkelfunktionen rechne stimmt das Ergebniss, egal welchen Modus ich habe. Sobald ich aber Winkelfunktionen rechne, wird das Ergebnis unterschiedlich.
Gibt es da einen Tipp, wie ich mir am besten merken kann, wann ich von RAD auf DEG und umgekehrt umstellen muss?

mfg
Flexxx

[oberallgeier]

... Gibt es da einen Tipp, wann ich von RAD auf DEG und umgekehrt umstellen muss ...

RAD ist üblich für analytische Geometrie und ähnlich nicht-alltägliches Zeug. Normalerweise nimmt das "kein Mensch" im alltäglichen Gebrauch, die Rechner laufen als Standardeinstellung üblicherweise mit DEG. Wenn allerdings ne Winkelangabe so ungefähr lautet " alfa ist 1,5708" oder ähnlich, oder wenn so ne Bezeichnung auftaucht â,dann dürfte es Sinn machen von DEG auf RAD umzustellen (Anm.: Buchstaben der Art â - oder alfa und andere "Griechen" - mit Bögelchen drüber sind meist ein Hinweis darauf, dass der Winkel im Bogenmass angegeben wurde). Dumm dumm dumm - weil bei der Rechnereinstellung RAD auch die Umkehrfunktionen von Sinus, Tangens und Holderkuckuck nach Winkel - wieder Winkelwerte im Bogenmass (so wird die Angabe in Radiant auch genannt) ergeben. Dann wird meist gleich wieder in DEG umgerechnet *ggg*.

Nicht nur Mathespezialisten, auch Physiker bei Drehbewegungen und so benutzen vorzugsweise die Winkelangaben in Radiant. Aktuell ist ja vielleicht von Interesse, dass DER weltweit bekannteste Wissenschaftsförderer - Alfred Nobel - die Mathe so sehr - ähhhhhh - nicht mochte, dass er eben KEINEN Mathenobelpreis auslobte. Herausragende Mathefreaks kriegen allenfalls den (garnicht von Nobel selbst gestifteten) Wirtschaftsnobelpreis.

[Zwerwelfliescher]

Danke,
ich möchte das jetzt mal an einem Beispiel machen. Im folgenden Bsp. möchte ich den Augenblickswert einer Sinusförmigen Spannung berechnen:

u=û*sinα

Muss ich dann auf DEG stehen lassen, wenn ich für α z.B. 60° nehme? Und wenn ich z.B. 1/2Bild hier   nehme, dann muss ich auf RAD umschalten?

mfg
Flexxx

[oberallgeier]

Genau! Bitte achte drauf - auch die Umkehrfunktionen sind von RAD/DEG (oder GRAD) betroffen. Mein Rechner kennt nämlich auch noch GRAD - das ist das Gradmass in Neugrad <=> ein rechter Winkel hat da hundert Grad *ggg*. Das ist alles aber nur gemacht, weil Mathe so einfach ist, dass sie durch solche Tricks künstlich kompliziert gemacht wird - damit auch Mathelehrer sagen können, dass ihr Stoff wichtig sei - und SEHR schwer.Genau!

Übrigens: meist schreibt man nicht 1/2Bild hier   sondern Bild hier  /2 - Pi wird nämlich üblicherweise als ganz bestimmte Zahl gesehen, so wie die 1, die 2 und so, auch wie ∞

[Zwerwelfliescher]

Mein Rechner kennt nämlich auch noch GRAD...

Das kann mein Rechner auch, aber das lasse ich lieber mal, und konzentirere mich auf das Wesentliche.

meist schreibt man nicht 1/2Bild hier   sondern Bild hier  /2 - Pi

Stimmt. Aber im Mathebuch ist es aber anderst, keine Ahnung warum Das Ergebnis bleibt ja gleich.

Gruß
Flexxx