Also +-2 cm kannst du locker mit ner Zahnstange und Zahnrad erreichen.
Das sollte absolut kein Problem sein.

Mir ist allerdings nicht ganz klar, wieso Zahnriemen zu wenig Stabilität haben.
Du kannst den Schlitten ja auch nicht auf der Zahnstange lagern?

In beiden Fällen benötigst du eine linear bewegliche Lagerung.
Im teuersten Fall von romani eine Linearführung. (kostet vielleicht dein halbes Budget)
Alternativ Schubladenschienen, die sind allerdings zu kurz für 80cm.
Oder du baust einen Schlitten mit Kugellagern die auf einem Vierkantstahl laufen.
Die Methode würde ich bevorzugen.