Durch die Stromspitzen sollte die Spannung eigentlich nur jeweils kurz einbrechen. Allerdings ist vermutlich nicht definiert, wie schnell sich der Regler von Überstrom erholen soll. Ich würde jedenfalls nicht erwarten das die Spannung dauerhaft einbricht - etwas Längere Puls schon.

Eine Möglichkeit wäre das der Regler anfängt zu schwingen. Ein kleiner Kondensator hiner dem Regler und direkt vor dem Regler ist das mindeste.

Bei nur 12 V vor dem Regler hat man auch nicht viel Reserve für den 7809.