Au weia, tompcat,

ich habe Deine Fragen noch nicht beantwortet! - Also: Die p_n sind die Parameter der Anpassung, die f_n sind die Funktionen, die mit den Parametern multipliziert werden.

Als Beispiel nimm' die klassische Geradenanpassung (lineare Regression): Da sind die Parameter p_n

p_1 = Steigung und p_0 = Achsenabschnitt.

Die Funktionen f_n sind:

f_1 = x und f_0 = 1

Bei manchen Aufgaben ist es sinnvoll, statt der einfachen linearen Funktion x und der Konstanten 1 andere Funktionen zu verwenden, z.B. Sinus und Kosinus. Was dann herauskommt, ist die Fourieranalyse... Aber lassen wir das !

Die Minimierungsmethode mit dem Differenzieren nach den Parametern p_n funktioniert aber nur, weil der alte Gauss (war 18, als er die Methode 1795 erfand) so genial war, sie genau so zu formulieren, dass sie immer differenzierbar ist und immer zu Gleichungen mit dem Ergebnis Null führt, in denen die Parameter p_n nur als einfache Faktoren wieder auftauchen.

Du hast eine etwas erweiterte die Aufgabe gestellt, nämlich: Lege eine Funktion (in Deinem Fall eine Gerade) so durch die Punktwolke, dass sich die Abweichungssumme durch das Hinzunehmen eines Messpunktes um weniger als z.B. die Standardabweichung ändert. Die Lösung dieser Aufgabe liefert nicht nur die Anpassungsparameter, sondern auch noch den Anfangs- und den Endpunkt der Anpassung.

Beim Zufügen eines Messpunktes ändert sich die Abweichungssumme im allgemeinen sprunghaft, es sei denn, der neue Punkt hätte die Abweichung Null. Du kannst das leicht ausprobieren, indem Du die Anpassung mit einem Satz Punkten durchführst. Dann nimmst Du einen weiteren Punkt dazu und rechnest damit nochmal die Anpassung aus. Anschliessend wirst Du festellen: Durch das Zufügen des Punktes hat die Abweichungssumme einen Sprung gemacht. Funktionen mit solchen Sprüngen kann man nicht differenzieren. Deshalb kann man diese neue Fragestellung mit dem eleganten Differentiationsverfahren von Gauss nicht lösen. Das ist das Problem, auf das ich in dem ersten Abschnitt hinweisen wollte.

Als einzige Möglichkeit fiel mir nur diese ein: Für alle verschiedenen Kombinationen von Punkten die Anpassung durchführen, die Ergebnisse nach dem Wert der Abweichungssumme sortieren und dann die mit den geringsten Abweichungssummen herauspicken. Dazu muss man die Kombinationen aber nummerieren, damit man nach der Sortiererei noch weiss, zu welcher Punktkombination der Wert gehört. Und wie man das hinkriegt, ist der Gegenstand des zweiten Abschnitts.

Bei dem, was wir hier treiben, geht's mir nur darum, den Lesern zu zeigen, was man mit der guten alten Küchenmathematik, wie man sie auf dem Gymnasium lernt, so alles anfangen kann. Wenn man mit Geduld und Zuversicht ein bisschen damit herumspielt, kommt man nämlich erstaunlich weit. Es kann sogar ziemlich spannend werden und Spass machen. Schliesslich sitzt einem dabei auch kein Lehrer im Nacken, der morgen die Hausaufgaben kontrollieren will .

Alles klaro?

Ciao,

mare_crisium