Hast du den 7805 jetzt komplett herausen? Tu den FET raus. Außerdem verwende wieder einen Akku oder eine Batterie statt dem Trafo. Ersetze den Kondensator durch einen möglichst großen. Derzeit liegt die Schwingungsdauer im Millisekundenbereich, wenn du aber einen Kondensator der Größe 100µF - 1000µF verwendest dann holst du die Schwingungsdauer in den Sekundenbereich.
Nun kann du mit dem Multimeter besser messen da alles viel langsamer abläuft: Miss die Spannung des Kondensators. Ist sie konstant oder ändert sie sich fortlaufend. Sie müsste zwischen 1/3 und 2/3 der Versorgungsspg. pendeln. Probier das mal und sag bescheid.