Kreisbogen Linearisierung

[jeffrey]

noch als ergänzung zum oberen nicht ganz ernst gemeinten beitrag, man sollte wohl schon nen mindest bewegungsweg vorgeben. oder eine mindestgröße für a, sonst führt ein möglichst kleines a, auch zu kleinen absoluten fehlern. oder man betracchtet den relativen fehler.
gute nacht jeffrey

[jeffrey]

Und nomal hallo,
ich hab des ganze jetzt mal spaßeshalber mit matlab berechnet, dabei habe ich festgelegt, dass a und b >1 sein müssen und folgendes gütekriterium zugrundegelegt: J =(xdiffsum+diffdysum)/dyges; wobei xdiffsum die summe aus den quadraten der einzelnen abweichungen zum mittleren x wert ist und diffdysum die summe der quadrate von der abweichung der mittleren schrittlänge in y-richtung ist.
matlab sagt dann:
Optimaler Wert Zielfunktional: 0.00058242
a: 14.2496
b: 23.8089

jetzt aber entgültig gute nacht jeffrey

[Manf]

Ein schönes Ergebnis, dann kann ich ja gleich weitermachen. Mit dem Gütekriterium findet man einen guten Wert. Wichtig ist, dass die beiden Bedingungen miteinander kombiniert werden. Da keine anderen Forderungen bestehen, sollten die Abweichungen für die Richtungen x und y die gleiche Gewichtung erhalten. Der Ergebniswert wird auf die Länge der Linie bezogen.

Für die x- Richtung ist die Bestimmung der Abweichung klar, hier sollen ja alle Werte gleich sein. Bei der Y Richtung kann man die Schrittweite mit der mittleren Schrittweite vergleichen oder die Position mit der Sollposition anhand der jeweiligen Treppenfunktion mit konstanter Schrittweite. Der Unterschied führt im vorliegenden Fall zu keiner großen Verschiebung des Optimums.

Anstelle der Minimierung der Summe der Fehlerquadrate kann man auch den größten auftretenden Fehler minimieren.

Interessant wäre dann noch, wie groß die Abweichung von der idealen Line bezogen auf die Länge der Linie ist.

Wenn man also beispielsweise früher einen Linienschreiber gebaut hat bei dem der Messwert mit einer Dreh-Potentiometer-Einstellung kompensiert wurde und auf dem Papierstreifen dann eine Funktion mit einer Auslenkung von 100mm aufgezeichnet werden konnte, wie groß war dann der maximale systematische Fehler aufgrund dieser Konstruktion, (die gesamte Positionsabweichung in x und y Richtung)?
Manfred




Zur Veranschaulichung noch die Kurven für die Positionsabweichungen über dem Winkel für die Werte in x Richtung (blau) in y Richtung (grün) und zusammen (rot). Rechts sind die Werte für die Minimierung des maximalem Fehlers dargestellt, links die Werte nach der oben vorgeschlagenen Optimierung. Sie liegen auch ganz in der Nähe. Je nach Anwendung wird man die Kriterien auch unterschiedlich gewichten.
Manfred

[jeffrey]

hallo,
auch ein sehr interessanter aspekt ist eine genaue schrittlänge vorzugeben, dann kommen zum teil ganz andere ergebnisse raus. ich hab das mal eingebaut. wenn z.b. die schrittlänge mit 40 vorgegeben wird kommt bei gleichem j folgendes heraus:
Optimaler Wert Zielfunktional: 0.0504809
a: 2.79685
b: 11.9455
mfg jeffrey

[Manf]

Also speziell bei den zuletzt genannten Werten für a und b ist der Linearitätsfehler (für die y-Werte) 20 mal so groß und die Abweichung von der Geraden (für die x-Werte) 5 mal so groß. Da könnte irgendwo ein Fehler drin sein.
(Man sieht auch bei der Eingabe der Werte oben in EXCEL schon an der Kurve selbst die Krümmung.)
Manfred

Ach so, Du meinst die Länge der geraden Strecke als Vorgabe. Dafür ist die die Konstruktion bei festem Wert für c wenig geeignet. Da sollte man dann besser auch die Länge c anpassen.
Manfred

[Manf]

Nur um es dann noch abzuschließen.
Die ideale Konfiguration wie sie oben beschrieben ist, mit der Fehlerkurve im rechten Bild, sieht dann so aus:
A = 13,767
B = 23,495
C = 100
Länge der geraden Strecke: L = 73,577
Der maximale systematische Fehler bezogen auf die Läge der geraden Strecke bleibt unter 0,13%, also im Beispiel unter 0,13mm.

Dann hätten wir alles.

Höchstens noch:
Wenn es Hinweise gibt, wie die relativ präzise Funktion erkärt werden kann bin ich interessiert. Zum Glück gibt es die Numerische Mathmatik mit der man das Ergebnis erhält mit denen man weiterarbeiten kann. Welche Systematik dahinter steckt, das wird bei der numerischen Lösung eben nicht aufgeklärt.
Ich hätte nicht gedacht, dass eine Aufgabe mit einem Kreis und einer Geraden zu einer Fehlerfunktion führt die in x- Richtung 4 Nullstellen und in y-Richtung 5 Nullstellen hat.
Bei der Lösung, Variation der Parmeter a und b unter Berücksichtigung des Optimierungskriteriums kommt dann eine Fehlerfunktion heraus die so geglättet ist, dass sie wie es aussieht, mit ihren 6 Maxima den Wert des maximalen Fehlers 6 mal berührt.
Janson sprach bei seiner Aufgabe von "holy numbers", also von etwas was nicht so recht erklärbar ist.
Manfred

[HannoHupmann]

Wir könnten dem ganzen auch noch einen wirklich interessanten Aspekt hinzufügen, da diese Aufgabe nun ziemlich weit gelöst ist.

Jeder von euch kennt die klassischen Spinnenbeine, welche hier bei etlichen Hexapods verwendet werden. Ich meine jetzt explizit diese mit 3DOF.
Diese werden in der Hüfte gedreht (meist zwischen 0° und 90°) die Fussspitze beschreibt dabei einen Kreisbogen. Um einen Hexapod jedoch ohne Wackeln gerade aus laufen zu lassen MUSS die Spitze eine gerade beschreiben.
Es gilt also den Kreisbogen mittels der Glenke in Schulter und Knie auf eine Gerade umzurechnen.

Meine neue Aufgabe ist nun:
"Wie muss eine Funktion aussehen, die aus der Winkeländerung in der Hüfte die Winkel für Schulter und Knie ermittelt? Dabei sind die Strecke zwischen Hüfte und Knie (A), die Strecke zwischen Knie und Fusspitze (B) als konstant anzunehmen. Der Abstand von Hüftgelenk bis zur linearisierten Geraden (sei D) ist ebenfalls fest."

Für eine saubere Lösung wären alle Spinnenroboterbastler auf ewig dankbar.

PS: Im Prinzip ist ein Algorithmus gesucht, der aus dem Winkel des Servos in der Hüfte die Positionen für Schulter und Knie errechnet.
Allerdings würde ich gerne den Mathematischen Ansatz vor dem Code lösen.

[Manf]

Meine neue Aufgabe ist nun:

Das ist ja eine gute Aufgabe, aber Du kennst das doch mit dem Quizforum, hier werden pro Thread einzelne Aufagben gestellt deren Lösung der Fragesteller kennt und deren Lösung in wenigen Tagen angegeben wird. Wenn Du einen neuen Thread aufmachst, z.B. in Mechanik oder Projekte dann gib den Link gleich mit an.
Manfred

[HannoHupmann]

@Manf stimmt da war noch was. Ich hab den Thread neu eröffnet im Mechanik Teil, hier der Link:
https://www.roboternetz.de/phpBB2/vi...=238112#238112

@jeffrey hab ich gemacht, damit wir uns alle einig sind über die Bezeichnungen und weil man das Rad nicht zweimal erfinden muss, hab ich die Bilder aus unserer Wiki zum Thema Spinnenbeine verwendet.

[linux_80]

Hallo Manf,
kannst Du evtl. die funktionen noch etwas erklären, also wie man auf die Punkte der Linie kommt von den Punkten des Kreisbogens,
den Teil bis zum Pythagoras hab ich noch kapiert, aber das mit dem ..(1-..) ?

Eigentlich dachte ich man kommt hier noch auf eine (ein paar) Funktion(en) mit denen man das von der anderen Seite her berechnen kann, und nicht so per ausprobieren !?

Damit ich über die Feiertage endlich mal zum schlafen komme, und nicht dauernd an dieses Problem hier denken muss !