Die Kondensatoren C1 und C2 sind erforderlich, damit der Quarz schwingt. Es ist wie bei einem µC, da hast du ja auch 2 Cs am Quarz.

Du kannst aber statt des Tasters an der selben Stelle ein Logiksignal einspeisen. High = Oszillator läuft, Low = Oszillator stopt.

Einen Haken hat die Sache allerdings, wenn ein Highpegel angelegt wird, fängt der Quarz erst an zu schwingen. Wie das Anschwingen aussieht und wie lange es dauert, kann ich nicht sagen, da ich nicht der ganz große Quarz-Experte bin.
Wenn du an U2 nur das Signal, was von U1 kommt, abschaltest, würde bei Anlegen von High das Signal sofort starten.
Es kommt auf deine Anwendung an, ob du mit dem Anschwingen des Oszillators leben kannst.

Gruß
Detlef