Vergleich mit Referenzsystem
Zur Analyse der Systembewegung wird das System mit dem reibungsfrei aufgehängten System verglichen. Bei dem frei in der “Luft“ (blau) aufgehängten System dessen Elemente sich gegeneinander bewegen ist wie schon gesagt die Summe der Kräfte null und da für jedes Element F = m * a gilt ist auch die Summe der Beschleunigungen null. Es findet also keine Beschleunigung und damit auch keine Bewegung des Schwerpunkts statt.

Ist das System in eine zähe Flüssigkeit eingetaucht und haben die Elemente ausreichenden Abstand zueinander dann gilt für jedes Element F = w0 * v (w = Strömungswiderstand, w0 für ein Element). Somit ist auch hier mit der Summe der Kräfte die Summe der Bewegungen null.

Betrachtung von Teilsystemen
Bei der Analyse werden nun Teilsysteme betrachtet, die aus 1 bis 2 Elementen bestehen.

Für zwei Elemente, die fest in großem Abstand gekoppelt sind gilt F = 2 * w0 * v. Sind die Elemente näher beieinander, ist ihre Verschiebung d, dann ist ihr Strömungswiderstand wd geringer als 2w0 und es gilt allgemein F = wd * v.
Hierbei ist wd / w0 in Abhängigkeit von der Verschiebung d eine Funktion, die bei d=0 den Wert 1 hat (beide Element sind quasi an der gleichen Stelle und haben den Strömungswiderstand eines Elements). Bei zunehmender Verschiebung steigt der Widerstand kontinuierlich bis zum Wert 2. Bei Kontakt der Elemente ist die Verschiebung dz und es gibt einen Widerstandswert wz.


3 Näherungen
Im Diagramm des Strömungswiderstands für diese Teilsysteme sind 3 Kurven eingetragen, eine blaue, eine rote und eine grüne.

Die blaue Kurve gibt an, dass der Widerstand stets wd = 2 * w0 sei, also wie bei großem Abstand der Elemente. Die Bewegungen des Systems in diesem Fall sind null und dienen zum Vergleich bei der Bestimmung der Bewegungen.

Die rote Kurve gibt an, dass der Strömungswiderstand der zwei Elemente, solange sie direkt dicht beieinander sind, gerade so groß ist wie der von einem Element. Sobald sie sich trennen haben sie den doppelten Widerstand eines Elements. Das ist eine Vereinfachung, aber schon eine geeignete Abschätzung für eine erste Näherung der Systembewegung.

Die grüne Kurve gibt den Strömungswiderstand realistisch wieder. Sie bewegt sich zwischen den Grenzen 1 und 2, sie hat die größte Steigung kurz nach der Trennung der Elemente, sie ist monoton steigend und nähert sich dem Wert 2 asymptotisch an.

Mit dieser Beschreibung kann man nun einfach die Übergänge auf Systembewegungen überprüfen.

Auffällig sind die aktiven Übergänge 01,02,10,20 bei denen während des gesamten Übergangs zwei Elemente zusammenhängen. Hierfür wir der Übergang 01 betrachtet. Bei ihm trennen sich im roten Fall die beiden Teilsysteme gleich schnell nach beiden Seiten während im blauen Fall die Geschwindigkeit des Teilsystems mit 2 Elementen nur halb so groß ist wie beim Teilsystem mit nur einem Element.

Systembewegung
Die Differenz der beiden Bewegungen ist dann wie gesagt die Systembewegung. Bei allen anderen Übergängen ist für den roten Fall die Bewegung gleich der im blauen Fall. Speziell bei den Übergängen 13 und 31 trifft dies exakt zu während es für die anderen Übergänge nur dann in guter Näherung zutrifft, wenn die Elemente weit genug voneinander entfernt sind.

Die Systembewegung ist damit bei den aktiven Übergängen 0,5 – 0,333 elementare Bewegungsstrecken also 0,1666 Strecken.

Es können damit zur Bewegung Zyklen mit aktiven Übergängen zusammengesetzt werden, beispielsweise: 01, 13, 31 oder 01, 13, 32, 20 oder 01, 12, 20.

Erweitert man das Zustandsdiagramm in der dritten Dimension um die Bewegungsstrecke, dann erhält man eine (einigermaßen) anschauliche Darstellung des Ablaufs.

Auffällig ist schon, dass das System bei der Sequenz bei der es auf dem Boden mit Haftung und Reibung nach rechts lief (beschrieben von PicNick), nun nach links läuft (was auch ranke beschrieben hat).

Ausblick
In einem nächsten Schritt kann man die Analyse verfeinern indem man zunächst die Bewegungen der Übergänge 13 und 12 in ihrer Richtung abschätzt.
Dazu gehört auch die Abschätzung in welcher Richtung die Bewegung beim Übergang 01 korrigiert werden muss, wenn man die grüne anstelle der roten Kurve einsetzt. Die Überlegungen hierzu sich sicher auch ganz interessant. Die rote Kurve beschreibt aber das prinzipielle Verhalten trotz ihrer Einfachheit schon erstaunlich gut.

Für die weitere Analyse wird eine Bestimmung der grünen Kurve sinnvoll sein und natürlich besonders auch das Experiment, das vorhandene System mit verschiedenen Bewegungssequenzen in zäher Flüssigkeit laufen zu lassen und die Fortbewegung zu messen.
Manfred