Die Energie einer gespannten Feder ist Kraft mal Weg. Wenn die Kraft über dem Weg konstant ist.
Ist sie nicht konstant dann summiert man über konstante Stückchen oder integriert die Kraft über den Weg.
Mit F=D mal x ist das Integral über den Weg E= Integral F dx also E= 1/2 D x^2.
Wen das Integral nicht klar ist machen wird das noch mal ausführlich.

Die Differentialgleichung ist wie der Name sagt eine Gleichung in der von einer Größe, die Größe selbst und Ableitungen dieser Größe vorommen.
Diese Differentialgleichungen könen dann beliebig komplex werden, aber hier haben wir solange das Seil (Feder) gespannt ist nur eine einfache Schwingungsdifferentialgleichung die den Weg beschreibt.

Es ist vielleicht etwas trickreich, daß während des Vorgangs das Seil ab und zu nicht gespannt ist, aber alle interessierenden Größen lassen sich im Bereich des gespannten Seils berechnen, abgesehen von der Randbedingung wieviel Energie eingebracht wird, aber das haben wir ja schon.
Manfred