Der Widerstand muß als PullUp an Plus, nicht an GND; sonst bekommt der Eingang keinen High-Pegel für logisch 1 !

Edit: und der Taster nach GND, parallel zum Kondensator.

PS: Der ULN2804 ist für CMOS-Pegel 6...15 Volt, der ULN2803 ist für TTL-Pegel 5 Volt. An den Ausgängen des µC müssen auch PullUp-Widerstände, falls die internen PullUps nicht enabled sind, sonst gibt's auch da keinen High-Pegel für logisch 1.
Den Pin 10 der ULNxxx brauchst Du nur bei induktiven Lasten wie z.B. den Motor. Dieser Pin geht über (Freilauf-) Dioden an die Collektoren der Darlington-Transistoren.