Pytagoras-Wo ist der Fehler?

[Majus]

Ahoy!
Neulich in der Kneipe haben meine Freunde und ich ein bisschen über Mathematik gelabert. Dabei is mir eine (für meine Mathematikkenntnisse) unstimmigkeit beim Satz des Pytagoras aufgefallen. Auch keiner meiner Freunde hatte eine Antwort darauf. Vielleicht kann mir ja hier einer erklären wo der Denkfehler liegt.


Also: Da ich zu faul bin ein Bild zu mahlen, machs ich mal per Text.
Ich hab ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ecken A,B,C und den Kanten a,b,c. c ist dabei die Hypotenuse die Punkte A,B verbindet. Soweit klar?
Wenn ich jetzt das ganze als Straßen darstelle, und von A nach B fahren möchte. Würde ich ja nie von A nach C und dann anch B fahren. Dies stellt ja einen Umweg dar. Ich würde immer den direkten Weg über die Hypotenuse c fahren. Laut Pytagoras ist die ja a^2+b^2=c^2.
Also immer kürzer als a+b.
Soweit so gut. Aber:
Wenn ich jetzt die Strecke c mit vielen Dreiecken (die jeweils wieder einen Teil der Strecke c als Hypotenuse haben (c')und die Katheten parallel zu a und b liegen)approximiere dann stimmt der Satz des Pytagoras nicht. Weil alle Strecken a' der Dreiecke und alle Strecken b' der Dreiecke addieren sich immer genau wieder auf a und b. Nach dieser Methode würde der Sazt c=a+b gelten.

Wo ist der Denkfehler??
Grüße, Majus

[PasstScho]

Hi,
Mal lieber nen Bild...

[SprinterSB]

Da müsste man etwas ausholen.

Die Länge einer Strecke L ist deren Maß, auch bezeichnet mit µ(L). Das Maß hat bestimmt Eigenschaften, so ist zB µ({}) = 0 ({} = Leere Menge) und µ(A+B) = µ(A)+(B) für zwei messbare Mengen A und B, wobei A und B disjunkt sein sollen und A+B die Vereinigung von A und B meint.

Wenn man eine krummlinige Kurve ausmessen will, dann zerlegt man diese in immer kleinere Stückchen und approximiert diese Stückchen durch gerade Strecken. Wenn man die Anzahl der Stückchen nun immer größer macht und die Maximallänge der Stückchen immer kleiner, dann erhält man eine *untere* Abschätzung für die Länge der Gesamtstrecke.

Was du nun machst, ist, die Strecke durch kleine Dreieckchen zu approximieren. Dadurch erhälst du eine *obere* Abschätzung für die Länge der Hypothenuse, aber eben nicht deren Länge.

Daß dein Konstrukt immer feiner wird und immer mehr wie eine Strecke aussieht, bedeutet nicht, daß deren Länge gegen die Länge der Strecke konvergiert. Wenn man nämlich die Länge deines Zick-Zacks mit endlich vielen Zacken nach dem von mir genannten Verfahren ausmisst, bekommt man als Länge sqrt(2)*c raus (bzw als obere Schranke für die Länge, die genaue Länge ist noch komplizierter). Man weiß damit, daß c <= sqrt(2)*c gilt.

Einfach zu sagen ich mach das oo (unendlich) oft, ist nicht definiert.

Das oben genannte Maß hat noch andere Eigenschaften, es ist S-additiv (S=Sigma): Man kann das Maß von abzählbar oo vielen, paarweise disjunkten (sich nicht überschneidenden) Mengen erhalten, indem man deren Einzelmaße addiert. Hat man mehr als abzählbar oo viele Mengen, wird das falsch. Beispiel:

Eine Strecke E der Länge 1, für die ist µ(E) = 1.
Nun besteht E aus unendlich vielen Punkten P, es ist E=Vereinigung{P}. Die einzelnen Punkte überschneiden sich nicht, also könnte man denken, es ist
1 = µ(E) = µ(Vereinigung{P}) = Sum µ(P) = Sum (0) = 0
denn für einen Punkt ist µ(P) = 0. Damit wäre auch µ(E) = 0.

Etwas klarer?

Übrigens gibt es auch Mengen, die nicht messbar sind, also denen man nicht sinnvoll ein Maß zuordnen kann. Manche Fraktale gehören dazu.

Google man nach "Satz von Banach-Tarski" (einer meiner Lieblingssätze), da sträubt sich der "gesunde" Menschenverstand.

Und noch was: Der Mann aus Samos hieß Pythagoras.

Oder ist er der neuen Rechtschreibung zum Opfer gefallen? So wie bordeaux (jetzt 'bordo',ich hab 10 Minuten gebraucht bis der Groschen gefallen war)

[PicNick]

...bordeaux (jetzt 'bordo',...

Teufel auch, dann heißt das Kölnischwasser jetzt auch odekollon ?

[Klaus_0168]

Hi Majus,

hier ist mein Lösungsansatz.

Bild hier  

Das von Dir angesprochene Dreieck ist das mit den Eckpunkten ABC.
Wenn das Dreieck in zwei Dreiecke geteilt wird, dann erhält man die beiden Dreiecke ADF und DBE.
Die Hypothenuse des Originaldreiecks (Strecke AB) wird dabei in die zwei Strecken AD und DB geteilt.
Die horizontale Kathete des Originaldreiecks (Strecke AC) teilt sich in die Strecken AF und FC auf und die senkrechte Kathete (BC) in die Strecken BE und EC.

Und jetzt stimmt auch wieder der Satz des Pythagoras.
AC^2 + BC^2 = AB^2
oder bei den Teildreiecken =>
AF^2 + FC^2 + BE^2 + EC^2 = AD^2 + DB^2

Bei meiner Proberechnung hat es jedenfalls funktioniert.

Die Summe der Teilstrecken ist immer noch so groß, wie die zugehörige Strecke im Originaldreieck. Dies gilt natürlich auch bei jeder beliebigen anderen Teilung des Dreieckes.

Grüße Klaus