Da müsste man etwas ausholen.

Die Länge einer Strecke L ist deren Maß, auch bezeichnet mit µ(L). Das Maß hat bestimmt Eigenschaften, so ist zB µ({}) = 0 ({} = Leere Menge) und µ(A+B) = µ(A)+(B) für zwei messbare Mengen A und B, wobei A und B disjunkt sein sollen und A+B die Vereinigung von A und B meint.

Wenn man eine krummlinige Kurve ausmessen will, dann zerlegt man diese in immer kleinere Stückchen und approximiert diese Stückchen durch gerade Strecken. Wenn man die Anzahl der Stückchen nun immer größer macht und die Maximallänge der Stückchen immer kleiner, dann erhält man eine *untere* Abschätzung für die Länge der Gesamtstrecke.

Was du nun machst, ist, die Strecke durch kleine Dreieckchen zu approximieren. Dadurch erhälst du eine *obere* Abschätzung für die Länge der Hypothenuse, aber eben nicht deren Länge.

Daß dein Konstrukt immer feiner wird und immer mehr wie eine Strecke aussieht, bedeutet nicht, daß deren Länge gegen die Länge der Strecke konvergiert. Wenn man nämlich die Länge deines Zick-Zacks mit endlich vielen Zacken nach dem von mir genannten Verfahren ausmisst, bekommt man als Länge sqrt(2)*c raus (bzw als obere Schranke für die Länge, die genaue Länge ist noch komplizierter). Man weiß damit, daß c <= sqrt(2)*c gilt.

Einfach zu sagen ich mach das oo (unendlich) oft, ist nicht definiert.

Das oben genannte Maß hat noch andere Eigenschaften, es ist S-additiv (S=Sigma): Man kann das Maß von abzählbar oo vielen, paarweise disjunkten (sich nicht überschneidenden) Mengen erhalten, indem man deren Einzelmaße addiert. Hat man mehr als abzählbar oo viele Mengen, wird das falsch. Beispiel:

Eine Strecke E der Länge 1, für die ist µ(E) = 1.
Nun besteht E aus unendlich vielen Punkten P, es ist E=Vereinigung{P}. Die einzelnen Punkte überschneiden sich nicht, also könnte man denken, es ist
1 = µ(E) = µ(Vereinigung{P}) = Sum µ(P) = Sum (0) = 0
denn für einen Punkt ist µ(P) = 0. Damit wäre auch µ(E) = 0.

Etwas klarer?

Übrigens gibt es auch Mengen, die nicht messbar sind, also denen man nicht sinnvoll ein Maß zuordnen kann. Manche Fraktale gehören dazu.

Google man nach "Satz von Banach-Tarski" (einer meiner Lieblingssätze), da sträubt sich der "gesunde" Menschenverstand.

Und noch was: Der Mann aus Samos hieß Pythagoras.

Oder ist er der neuen Rechtschreibung zum Opfer gefallen? So wie bordeaux (jetzt 'bordo',ich hab 10 Minuten gebraucht bis der Groschen gefallen war)