Nachdem sich der erste Ansturm der Antworten gelegt hat möchte ich zum ersten Teil der Lösung kommen.

Es handelt sich ja um eine Uhr, deshalb gilt für die Übersetzung zwischen Minuten und Stunden:

(a / b) * (c / d) = 12

Da die Zahnkränze a und d sowie b und c auf den gleichen Achsen sind gilt bei gleichem Modul:

a + b = c + d .

Gesucht ist die kleinste Kombination mit b > 10 und d > b, die die Gleichungen erfüllt.
Leider habe ich auch keinen analytischen Weg gefunden die Gleichungen ganzzahlig zu lösen, man kann die Lösung per Programm oder durch Probieren ermitteln. Per Programm beispielsweise für alle Zahnräder unter 100 Zähnen. Während die Zahl der Zähne eines Zahnkranzes und auch die Gesamtübersetzung ganzzahlig sein muss kommt es doch recht häufig vor dass die Einzeluntersetzung hierbei nicht ganzzahlig ist.

. a . b . c . d . (a + b)
48 12 45 15 ... 60
54 12 48 18 ... 66
72 12 56 28 ... 84
63 14 56 21 ... 77
96 14 70 40 ...110
90 15 70 35 ...105
95 15 72 38 ...110
64 16 60 20 ... 80
72 16 64 24 ... 88
85 17 72 30 ...102
81 18 72 27 ... 99
80 20 75 25 ...100
90 20 80 30 ...110
96 24 90 30 ...120

Das gesuchte Ergebnis ist damit die erste Zeile mit

a=48 b=12 c=45 d=15.

Falls jemand doch noch die andere Übersetzung betrachten möchte kommt der zweite Teil der Lösung später.
Dort waren ja schon die Zähnezahlen der Ritzel gegeben und die Frage ist, wie man nötigenfalls mit identischem Modul auskommen kann.

Manfred