Ausserdem wenn der Strom verstärkt wird ergibt sich bei gleichem Widerstand als Last auch eine höhere Spannung:
U=R*I
Wenn I größer wird, wird bei gleichem Widerstand auch der Strom größer. das ist das Ohmsche Gesetz!
Ich denke du meinst wenn U größer wird, weil I ja der Strom ist.

Und das Stromverstärken ist anders gemeint. Wenn eine Stromquelle max. 1A liefert, kann man mit Transistoren nicht 10A rausholen.
Jeder Transistor hat einen Stromverstärkungsfaktor. Je nach Transistor ist der unterschiedlich groß. Von ganz wenig bis viele hundert. Und je nach Transistor ist die Tolleranz unterschiedlich. Und dieser Faktor bezieht sich auf den Basisstrom! Wenn 1A in die Basis fließen kann (durch Dimensionierung des Basiswiderstands) und der T eine Verstärkungsfaktor von 10 hat, kann Ice nicht mehr als 10A sein. Sofern die Stromquelle überhaupt 10A liefert.
Wenn ein Transistor als Schalter (wie hier) betrieben wird, wird er in die Sättigung gebracht und leitet so lange bis die totale Verlustleistung ihn gekillt hat.