Fourier Transformation eines Sinus Signals

[Kampi]

Heyho,

wir hatten gestern die erste Vorlesung über Fourier Transformationen und auf der Grundlage habe ich gestern Abend mal eine Transformation für einen Sinus durchgeführt. Den ganzen Spaß habe ich mal in einer Excel Tabelle gemacht nur mit dem Ergebnis komme ich noch nicht so klar...
Ich habe einmal eine Harmonische bei dem 1-fachen der Grundschwindung....das ist klar. Aber dann habe ich noch eine Harmonische bei dem 7-fachen der Grundschwingung und die Amplitude ist genau negativ gegenüber der bei der 1-fachen.
Das sie negativ ist, hat was mit der negativen Halbwelle des Sinus zu tun. Aber wieso dann bei der 7-fachen Frequenz?

Danke für die Antwort!

[PICture]

Hallo!

Reiner Sinus mit permanenter Amplitude enthält sicher keine harmonische Frequenzen, soweit ich mir noch erinnern könnte. ;)

[Kampi]

Hey,

doch. Die FFT gibt ja die Sinus und Kosinus Anteile als vielfaches der Grundfrequenz mit einer bestimmten Amplitude wieder. Daher musst du bei einem Sinus auch einen Sinusanteil mit der Grundfrequenz finden ^.^

http://www.presseagentur.com/media/2655/FFT_Sinus.jpg

[PICture]

Sorry das ich nicht diskutieren werde, aber ich schon lange keine Schule besuche und nur das gefunden habe: http://www.unibw.de/lrt2/lehre/messtechnik1/musterloesungen/3-1 .

[robin]

Also eigentlich dürfte da nur die Grundfrequenz des Sinus ausgegeben werden. Eine Fourier Transformation zerteilt das Signal ja in Cosinus und Sinus Schwingungen. Ein Sinus ist und bleibt dann ein Sinus (der hat keine Oberschwingungen).

Was ich mir als Fehlerquelle vorstellen könnte:
* Wenn du eine Fast Fourier Transformation (FFT) nimmst, könnte sich dadurch ein Fehler einschleichen. Eine FFT ist ja keine 100% genaue Rechnung, hier entsteht immer ein kleiner Fehler.
* Du hast einen Rundungsfehler in deine Sinus Werten oder der Berechnung.


Das Verhalten in deinem Bild ist auf einen Frequenzdrift und eines etwas unschöne Signalform zurückzuführen, bei einem "richtigen" Sinus sollte nur ein Strich zu sehen sein.
Es handelt sich dabei vermutlich um ein gemessenes Signal und nicht um ein Ideales "virtuelles" Signal. Bei einem Sinus sollte es nämlich so aussehen:
http://www.electronique-radioamateur.fr/elec/base/spectre-et-domaine-frequentiel.php

[Kampi]

Hey,

danke für die Antwort.
Eine FFT ist es nicht. Es ist schon der "aufwändigere" Weg.
Was gut sein kann ist, dass es vielleicht durch die Rundung der 8 Abtastpunkte entstanden ist?
Weil ich habe den Wert auf die dritte Nachkommastelle gerundet.
Aber vielleicht habe ich auch was vergessen...
Ich habe jetzt von jedem der acht Werte die Summe aus sin(2*pi*k*x/8 )+cos... gebildet und dann k von 1 - 8 laufen lassen.
Da habe ich für jedes k einen Realteil und einen Imaginärteil raus.
Ist das so korrekt oder fehlt da noch was?

[witkatz]

Eine abgetastete Funktion ist keine zeitkontinuierliche Sinus-Funktion mehr, sondern eine zeitdiskrete Funktion. Nach der Abtastung kannst du keine Aussage über Frequenzen > 1/2 Abtastfrequenz machen. Wenn die Sinusfrequenz mit 8 Punkten abgetastet ist, dann sind Aussagen zur 7-ten harmonischen Mumpitz, nach der 4-ten kannst mit der diskreten Fourier-Analyse aufhören.

[ePyx]

Der Effekt im ersten Bild wird allgemein als Leckeffekt oder Leackage-Effect bezeichnet. Wie witkatz schon beschrieb, entspricht ein diskret abgetasteter Sinus einer gefensterten Version der kontinuierlichen Version. Also entspricht es einer Faltung mit dem Rechteckfenster. Spektrum des Rechteckfensters ist die Sinc-Funktion oder genauer die Dirchlet-Funktion (Betrag der Sinc-Funktion).

Entspricht die Abtastfrequenz nicht einem ganzzahligem Vielfachen der Signalfrequenz, bekommst du nicht das Maximum der Sinc-Funktion sondern ein Nebenmaxima.

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Ich habe jetzt von jedem der acht Werte die Summe aus sin(2*pi*k*x/8 )+cos... gebildet und dann k von 1 - 8 laufen lassen.


Also keine Fouriertrafo sondern die Fourierreihenentwicklung?

[Kampi]

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Also keine Fouriertrafo sondern die Fourierreihenentwicklung?

Nein eine Fourierreihe wäre ja das hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe

Ich meine aber das hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation

@ witkatz:
Danke für die Antwort.
Klar ich hab das Abtasttheorem vergessen. Wie dämlich.

[ePyx]

Nein eine Fourierreihe wäre ja das hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe

Ich meine aber das hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation

Stimmt die aks und bks fehlen. Allerdings ist das dann auch ne DFT (*klugscheiß*) da es kein Integral ist. ;) Aber egal, schöne Woche noch.

[Kampi]

Stimmt die aks und bks fehlen. Allerdings ist das dann auch ne DFT (*klugscheiß*) da es kein Integral ist. ;) Aber egal, schöne Woche noch.

Wo du recht hast ;)