Für Elektrotechniker, Frage zur Lorenzkraft

[Christian H]

Hallo,

ich habe mal eine einfache Frage zur Lorentzkraft. Ich hätte gerne von Euch gewußt welche Kraft auf den Leiter 1 wirkt. Um den stromdurchflossenen Leiter 2 entsteht ja ein Magnetfeld, welches, wie in der Skizze zu sehen ist, im Bereich vom Leiter 1 senkrecht zur Ebene steht. Demzufolge müßte durch die Lorentzkraft der Leiter 1 eine Kraft zur Seite erfahren. Richtig? Oder vielleicht doch nicht? Wenn Leiter 1 und Leiter 2 parallel liegen, dann ist die Sache klar. Die Leiter werden je nach Stromrichtung angezogen oder abgestoßen. Aber wenn Leiter 1 senkrecht zu Leiter 2 steht ??

Viele Grüße

Christian

[Geistesblitz]

Rein intuitiv würde ich sagen, dass dann gar nichts passiert. Ich denk mal, dass einem da die Rechte-Hand-Regel gut weiterhilft.

[Kampi]

Musst du schauen. Du hast zwei B-Feld Vektoren (von Leiter 1 und 2).
Daraus bildest du den Differenzvektor und dann hast du dein resultierendes Magnetfeld....damit kannst du dann weiter arbeiten.

[White_Fox]

Da wird sich nicht viel tun.
Die Kräfte (sowohl die von Leiter 1 auf Leiter 2 und umgekehrt) wirken parallel zum jeweils anderen Leiter.

Stichwort Drei-Finger-Regel.

Edit:
Wenn ich das im Kopf mal richtig durchgehe, dann drehen sich die beiden Leiter gegenseitig, sodass sie danach streben parallel zu liegen (Leiter als starre Körper angenomen). Auch wenn diese Kräfte recht klein sein werden und nur dort wirken, wo die beiden Leiter noch in einer gewissen Nähe zueinander sind.

[Christian H]

Inzwischen gibt´s also drei Ansichten: es passiert gar nichts, Differenzvektor bilden und damit weiter arbeiten, die Leiter drehen sich und streben danach parallel zu stehen. Da bin ich wohl noch eine Antwort schuldig.


Ist eigentlich simpel. Um den Leiter 2 bildet sich ein zirkuläres Magnetfeld (s. http://de.wikipedia.org/wiki/Magnetismus, Abbildung unter Richtungsregeln). Die Magnetfeldlinien B gehen also senkrecht durch die Zeichenebene und der Leiter1 wird nach der Dreifingerregel (http://de.wikipedia.org/wiki/3-Finger-Regel) senkrecht zu seiner Längsrichtung abgelenkt, also nach rechts. Die Kraft die auf Leiter 1 wirkt hat immer die gleiche Stärke, egal ob er quer oder senkrecht zu Leiter2 steht.


Dafür gibt´s auch 2 Formeln:

B = I / (2*pi*r) * μ, B = Magnetfeldstärke, I = Stromstärke in Leiter2 r = Abstand vom Leiter μ magnetische Leitfähigkeit, Konstante 12,5..*10^-7 N/A²

und

F= n* q * (v x B) = I * (l x B ) oder F=n *q * v * B für den Betrag der Kraft, wenn Magnetfeldlinien und Richtung des Leiter2 senkrecht aufeinander stehen
F = Kraft, q die Ladung eines Elektrons, v die Geschwindigkeit der Ladung, I = Stromstärke, l = Länge, n Zahl der Elektronen jeweils in Leiter1

Das kann man jetzt einfach so hinnehmen. Ist aber doch etwas verwunderlich. Wer den eigentlichen Grund wissen will, der kann ja noch etwas weiter lesen:




Das Magnetfeld ergibt sich aus der Relativität von Zeit und Raum, also der speziellen Relativitätstheorie. Ist eigentlich gar nicht soo kompliziert. Man kann sich´s vereinfachen, wenn man sich Leiter1 durch ein Elektron e ersetzt denkt, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Den Strom in Leiter2 ersetzt man durch negative und positive Ladungen die sich mit gleicher Geschwindigkeit V in entgegengesetzter Richtung bewegen und die ich einfach mal N und P im Leiter nenne. In diesem Koordinatensystem S gibt´s die Ortsangaben x y und die Zeit t. Jetzt denkt man sich, man würde sich mit dem Elektron e mitbewegen. In diesem Koordinatensystem S' werden die Ortsangaben x' y' und die Zeit t' verwendet. Da e in S' ruht, spielt ein Magnetfeld keine Rolle. Die Bewegung von e wird in S' nur durch die elektrische Kraft bestimmt. Die Ladungen im Leiter verschieben sich nun in S' derart, dass er elektrisch geladen escheint und dieses elektrische Feld quer zu v auf e einwirkt. Im Ursprungssystem S erscheint dies so, als wäre eine zusätzliche Kraft, sprich das Magnetfeld vorhanden.


Warum erscheint aber in S' der Leiter geladen? Dazu muß man sich die Formeln für die Lorentztransformation herleiten. Ist auch nicht kompliziert.


Licht, das zum Zeitpunkt t=0 bei x=0 und y=0 ausgesandt wird, ist nach der Zeit t auf dem Kreis x² + y² mit Radius c² * t². Sprich es gilt:
c² * t² = x² + y²
Im System S' breitet sich das Licht genauso aus. Wenn zu den Zeiten t=0 die Nullpunkte der Koordinatensysteme zusammen fallen gilt auch
c² * t' ² = x' ² + y' ².


Alle Abstände quer zu v ändern sich nicht. D.h. es gilt y = y' und damit c² * t² - x² = c² * t' ² - x' ² (1)


Vor Einstein bestand zwischen S und S' die Beziehung x = x' + v * t' und x' = x - v * t
Seit Einstein gilt das nicht mehr. Die x' und x werden gestreckt oder gestaucht. D.h. die neuen Formeln sind


x = a * (x' + v * t') (2) und x' = a * (x - v * t) (3) . a muß man sich noch herleiten. Dazu verwurschtelt man (1) mit (2) und (3). Erst mal t herleiten:


v * t = x - x' / a (aus 3); v * t = a * (x' + v * t') - x' / a (mit 2) ; t = (a - 1/a) * x' / v + a * t' (4) letzteres quadrieren um auf c²*t² zu kommen
c² * t² = c² / v² * (a - 1/a)² * x' ² + (irgendwas mit x' * t' und t'²) (5)
x² = a² * x' ² + (unwichtig mit x' * t' und t' ² ( 6 aus 2)
c² * t² - x² = c² / v² * (a - 1/a)² * x' ² - a² * x' ² + Reste mit x' * t' und t' ² (7 aus 5 und 6)


Jetzt kommt wo die Kuh das Wasser läßt! Wegen (1) kann man die linke Seite der Gleichung durch c² * t' ² - x' ² ersetzen. Diese Gleichung muß nun für alle möglichen x' und t' gelten. Daher müssen die Terme vor x' ² links und rechts von der Gleichung gleich sein. D.h.
-1 = c² / v² * (a - 1/a)² - a² . Wer will kann ja irgendwas und unwichtig auch ausrechnen. Das ändert nichts am Ergebnis.
a² - 1 = c² / v² * (a - 1/a)²; a = c²/v² * (a-1/a) ; 1= c²/v² (1-1/a²); v²/c²=1-1/a²; a= 1/ sqr(1-v²/c²)


wegen (4) t= a * ( 1-1/a²) * x' / v +a * t' = a * v²/c² * x' / v + a * t' = a * ( t' + v/c² * x')


Damit haben wir also:
a= 1/ sqr(1-v²/c²); x = a * (x' + v * t') ; t = a* ( t' + v/c² * x') ;
in gleicher Weise ergibt sich
x' = a * (x - v * t) ; t' = a* ( t - v/c² * x) ;


Das ist leider erst die halbe Miete.


Betrachten wir erst mal den Fall, dass e parallel zum Leiter fliegt. Die P und N sollen im System S jeweils den Abstand dx haben. t kann man = 0 annehmen.
dann ergibt sich dx' = a * dx und dt' = a * v/c² * dx da sich N und P in S' mit V-v bzw. -V-v bewegen, ergibt dies für
die N letztlich ein Abstand dx' = a * dx + (V-v) * a * v/c² * dx
für die P einen Abstand von dx' = a * dx + (-V-v) * a * v/c² * dx
macht eine Differenz in den Abständen der P und E von V * v / c² * 2 * a *dx = V * v / c² * 2 * dx'
und somit ist der Leiter in S' geladen. Das Verhältnis der magnetischen Kraft zur elektrischen ist pro Ladung also


Fmag / Fel = V * v / c² Heureka !
kann man mit
Fel= 1/(2*pi*ε) * q * q / r und I1 = n * q * v und I2 = n * q * V umwandeln in
Fmag = 1/(2*pi*ε) /c² * I1 * I2 / r >>>> μ * ε = 1/ c²




Soweit so gut
Jetzt kommt der interessante Fall, dass e senkrecht auf den Leiter zufliegt (der Leiter liegt jetzt in y Richtung). Da ändern sich die Abstände dy zwischen den P und E eigentlich nicht! Demzufolge dürfte keine Kraft auftreten. Aber:


Zum Zeitpunkt t=0 ist in S' der Abstand von e zum Leiter r' = a * (r - v * 0) = a * r. Dazu gehört die Zeit t' = a * ( -v/c² * r). Da sich die E mit V in y Richtung und die P mit -V in -y Richtung bewegen, werden diese um dy = V * a * v / c² * r nach y bzw. -y verschoben. Positive und negative Ladungen werden quasi gegeneinander verschoben. Dadurch gibt´s ein Kräftedreieck mit einem Verhältnis von Fmag/ Fel = dy / r' = V * v / c². Also genau so groß wie im obigen Parallel- Fall.




Gute Nacht!


Christian