Fourierreihe

[oZe]

Hallo!
Ich habe momentan ein kleines mathematisches Problem bezüglich der fouriersynthese.
Folgende ausgangssituation:
Ich habe 100 abtastwerte einer periodischen stromkurve aufgenommen und so genau eine Periode abgetastet. Jetzt würde ich gerne aus den abtastwerten die Funktion wieder rekonstruieren indem ich sin bzw. cos Funktionen überlagere. Dies geht ja bekanntlich mit der rourierreihe. Leider sagt mir Wikipedia nur wie ich das über ein Integral lösen kann. Das Hauptproblem liegt bei mir schon bei der Bestimmung der Koeffizienten ak und bk die ebenfalls über Integrale bestimmt werden, was jedoch bei meiner ausgangssituation nicht möglich ist, da ich ja keine kontinuierliche Funktion habe sondern nur abtastwerte dieser Funktion.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen wie das lösbar ist?

[White_Fox]

Die Vorraussetzung, dass du aus einer Funktion eine Fourier-Reihe machen kannst, ist die, dass sie von -pi bis pi stetig ist, sonst gehts nicht.

Wenn du nur Punkte hast, musst du dir erstmal eine Funktion basteln, die deine Punkte ale trifft bzw. hinreichend genau annähert. Wenn du es mit einer Funktion nicht schaffst, kannst du deine Funktion intervallweise neu definieren. Und dann geht das Integriere los...

Mach doch mal ein Bild von deinen Punkten.

[malthy]

Hm, also ich bin nur "FFT Anwender", aber ich würde es so sehen: deine Abtastrate sagt dir über das Sampling-Theorem welche die höchste Frequenz ist, die dein Signal enthalten kann. Vor dem Hintergrund sollte es dann möglich sein, eine DFT (Discrete Fourier Transform) zu berechnen, um dein Signal "verlustfrei" in die Freq-Domäne zu überführen. Die Fourier Reihe bezieht sich meines Wissens auf kontinuierliche Signale, sowas hast du ja augenscheinlich nicht. Die Periodizität ist übrigens wohl "nur" ein konzeptuelles Problem. Man behauptet einfach, dass Signal wiederholt sich unendlich, schon ist es periodisch.

Gruß
Malte

[oZe]

Ok das erklärt schonmal das Grundlegende Problem. Da ich nur Punkte habe ist die Funktion natürlich nicht stetig, da ich ja gar keine Funktion habe sondern nur Abtastwerte.
Mein Prof. hat mir dazu jedoch gesagt, dass man das Integral in diesem Fall einfach in eine Summe wandeln kann. Wie genau das gehen soll hat er mir nicht gesagt und ich finde dazu im Internet auch nichts.
Wenn ich mir bei Wikipedia den Artikel Fourierreihe durchlese bleibe ich an der Stelle zur Bestimmung der einzelnen Werte von ak und bk eben stecken aufgrund des Integrals.

Gibt es eine einfache Möglichkeit aus Abtastwerten eine Funktion zu erzeugen, sodass ich darauf das Integral anwenden kann? Oder kann ich wie mein Prof. sagte das Integral umgehen?

Danke schon mal für deine Hilfe! Ich habe im Anhang nochmal ein paar der Werte die ich aufgenommen habe als txt angehangen und als Bild einen Plot davon in Excel. Das Signal ist die Leistung eines Verbrauchers. Gemessen habe ich Strom und Spannung über eine Periode und diese dann multipliziert, sodass ich die Leistung über eine Periode habe.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!

[malthy]

Nachtrag:

Hier kannst du die diskrete FT nachlesen: http://www.dspguide.com/CH8.PDF Summenzeichen statt Integral ;-) Was die praktische Seite angeht: in Matlab heisst der Befehl FFT.

[oZe]

Ohne mir das Dokument jetzt durchgelesen zu haben:
Mit der fouriertransformation wandelt man ein Signal doch in den Frequenzbereich um um sein Spektrum zu analysieren.
Was ich aber brauche ist die fourierreihe. Damit kann jede beliebige Funktion durch eine Überlagerung von Sinus und Cousins gliedern dargestellt werden. Das ist somit leider was vollkommen anderen denke ich ;) Danke trotzdem :)

[oberallgeier]

... nur Punkte ... Funktion natürlich nicht stetig ... Integral in diesem Fall einfach in eine Summe ...Schau doch mal bitte bei Wikipedia in Riemannsches Integral, Obersumme und Untersumme - zu letzterem das hübsche Bildchen, drittes von oben. Natürlich kann man in der Numerik (die ja viele analytische Untiefen mit diskreten Näherungen umgeht) auch nen Sinus anpassen . . .

Und die Warmduschermethode wäre es in einer Tabellenkalkulation sich eine passende Trendkurve zeigen zu lassen, die gibts dort komplett mit passend bemessenen Faktoren - dann integrieren *ggg*.

[malthy]

[...] Signal doch in den Frequenzbereich um um sein Spektrum zu analysieren

Das Spektrum sagt dir genau die Koeffizienten die du zur Überlagerung von Sinus und Kosinusfunktionen brauchst. Das ist doch die Idee der ganzen Veranstaltung! Beim Spektrum gibt man oft Amplitude und Phase an, das lässt dich aber direkt in Sinus- und Kosinus-Komponente umrechen. Die Fourierreihe ist für kontinuierliche Signale gedacht, die hast du doch nicht! Vielleicht machst du dir doch mal die Mühe in das o.g. Dokument zu schauen, dort siehst du nämlich gerade die Funktionen als Summe und nicht als Integral formuliert (Integral -> kontinuierlich, Summe -> diskret). Vielleicht erinnert dich das dann auch an das, was dein Prof da so erzählt hat. Insofern denke ich, es ist eben gerade nicht was völlig anderes, sondern genau das was du suchst ;-). Aber ich halte mich ab jetzt raus :-).

Gruß
Malte

[ichbinsisyphos]

Ist das eine Mikrocontroller- oder eine reine Mathematikfrage?

Die gute Nachricht: Da du keine Funktionen definiert sondern nur einzelne Messwerte hast, ersparst du dir das Integrieren schonmal.

Welche Werkzeuge hast du zur Verfügung? Irgendwie musst die Diskrete Fouriertransformation machen (FFT ist ein Algorithmus z.B.), das liefert dir einen Satz von komplexen Zahlen, aus denen du wie üblich Betrag sqrt(Re²+Im²) und Phase atan(Im/Re) der aufgelösten harmonischen Einzelfrequenzen rauskriegst.

Um diesen Werte Frequenzen zuordnen zu können, musst du per Hand die kleinste auflösbare Frequenz = auch der Schritt zwischen zwei benachbarten Frequenzen berechnen. Diese kleinste Frequenz ergibt sich aus der gesamten Messdauer T. Entweder 1/T oder 1/(2*pi*T), verdammt weiß ich im Moment nicht mehr.

FFT gibt ein seltsames Ding zurück, das um die Mitte gespiegelt ist, also eine Hälfte kannst einfach vergessen. Der erste Wert (Index 0) ist auch speziell, das ist der Mittelwert aller betrachteten Messpunkte, die 0-Frequenz :)

Höchste Frequenz die du auflösen kannst ist die sogenannte Nyquist-Frequenz bei 1/2*Abtastfrequenz - muss in die Mitte der FFT-Daten fallen.

Mit den so berechneten Amplituden- und Phasenwerten kannst dann wieder ein Signal (mit einer meist eingeschränkten Auswahl an Frequenzen) aus Sinus-Funktionen aufsummieren.


edit: oder warte mal ... will der dass du die normale Fourierreihenentwicklung machst und dabei das Integral annäherst durch die Fläche unter den Messwerten: Summe(Messwert*Zeitdifferenz zwischen 2 Messungen)?

[oZe]

Das Spektrum sagt dir genau die Koeffizienten die du zur Überlagerung von Sinus und Kosinusfunktionen brauchst. Das ist doch die Idee der ganzen Veranstaltung! Beim Spektrum gibt man oft Amplitude und Phase an, das lässt dich aber direkt in Sinus- und Kosinus-Komponente umrechen. Die Fourierreihe ist für kontinuierliche Signale gedacht, die hast du doch nicht! Vielleicht machst du dir doch mal die Mühe in das o.g. Dokument zu schauen, dort siehst du nämlich gerade die Funktionen als Summe und nicht als Integral formuliert (Integral -> kontinuierlich, Summe -> diskret). Vielleicht erinnert dich das dann auch an das, was dein Prof da so erzählt hat. Insofern denke ich, es ist eben gerade nicht was völlig anderes, sondern genau das was du suchst ;-). Aber ich halte mich ab jetzt raus :-).

Gruß
Malte

Das sollte kein Angriff auf dich sein falls das so über gekommen sein sollte :) Mir war der Zusammenhang nur nicht bewusst und ich dachte daher das du eventuell meine Frage falsch verstanden hattest. Ich werde mich dann natürlich da nochmal durcharbeiten! Das scheint ja mein Problem zu lösen ;-)

Um mal ganz von vorne zu klären worum es genau geht:
Ich habe verschiedene Leuchtmittel die untersucht werden sollen im Bezug auf Oberwellen in Ihrere Leistungsaufnahme. Beispielsweise habe ich eine Energiesparlampe, welche einen stark verzerrten Strom zieht, sodass auch die Leistung stark Oberwellen behaftet sein muss. Um jetzt zu bestimmen wieviel Wirkleistung, Verschiebungsblindleistung und Verzerrungsblindleistung in den einzelnen Wellen umgesetzt wird habe ich Strom und Spannung wie bereits erwähnt abgetastet über eine Periode und die Werte (Also U und I) miteinander multipliziert. So habe ich die genaue Leistungsaufnahme zu jedem Zeitpunkt der Periode.
Mein Professor hat mir nun gesagt wenn ich diese Leistungskurve mittels einer Fourierreihe darstelle, dann sind die Cos-Anteile dieser Reihe die Wirkleistungsanteile der jeweiligen Welle, und die Sin-Anteile die Blindanteile. Zusatzinfo war, dass die Blindanteile der Grundwelle die Verschiebungsblindleistung ist und die Addition (genauer gesagt sqrt(Q2²+Q3² usw)) der restlichen harmonischen die Verzerrungsblindleistung.
Mein erster Ansatz war daher wie bereits geschildert die Koeeffizienten über die Integrale zu bestimmen was die beschriebene Problematik mit sich bringt, dass diese sich nicht bestimmen lassen aufgrund dessen das ich nur Abtastwerte habe und keine kontinuierliche Funktion.
Ich werde mich daher jetzt mal mit der DFT auseinander setzen und schauen wie ich damit zurecht komme.

Vielen Vielen Dank an alle die mir hier geholfen haben mit diesem nicht gerade einfachen Problem!

[ichbinsisyphos]

Ich werde mich daher jetzt mal mit der DFT auseinander setzen und schauen wie ich damit zurecht komme.Warte mal. Habt ihr die diskrete Fouriertransformation überhaupt schon angeschnitten oder nur die Fourierreihenentwicklung? Die DFT ist erstmal eine Transformation, die nicht Koeffizienten berechnet, sondern einen kontinuierliche Amplitudenverlauf als Funktion der Frequenz. Aber dann doch wieder als diskrete Einzelpunkte, weil die Messung schon aus diskreten Einzelmessungen besteht. Das ist um einiges fortgeschrittener als die einfache Fourierreihenentwicklung.

Wenn ihr das schon hattet, dann wär dir das aufgefallen.

Etwas das du da oben geschrieben hast hat mich aber daran erinnert, dass du vielleicht einfach die normale Fourierreihenentwicklung machen sollst, aber halt die Integrale mit denen man die Koeffizienten erstellt als Fläche unter dem stufigen Kurvenverlauf, der sich bei so diskreten Messungen ergibt, annäherst. Klär das mal mit deinem Gewissen ab ;)

[oZe]

Keine Sorge das ganze ist Teil meiner bachelorarbeit und somit habe ich selbstverständlich ein entsprechendes Grundwissen. Ich musste mich bisher jedoch nur relativ oberflächlich mit der Fouriertransformation beschäftigen aber das wird ja jetzt nachgeholt wo es aktuell wird für mich :)

[oZe]

Jetzt habe ich noch eine vielleicht auch nicht ganz so "schlaue" Frage die ich hoffe hier beantwortet zu bekommen.
Ich habe ein Leistungsmessgerät der Firma Yokogawa zur Verfügung, welches zwei verschiedene Messmodi unterstützt. Einaml einen "normalen" Modus in dem die Wirk-,Blind- und Scheinleistung über die bekannte Beziehung S=sqrt(Q*Q+P*P) bestimmt wird und einen weiteren "harmonischen" Modus in dem die einzelnen Oberwellen von Wirk- und Blindleistung bestimmt werden durch Fourieranalyse (Also quasi das was ich von Hand gerechnet habe mit eurer Hilfe). Jetzt summiert das Messgerät aber im harmonischen Modus einfach jeweils alle Leistungen der Oberwellen von Wirk- bzw. Blindleistung auf und gibt das als gesamt Wirk- bzw. Blindleistung aus. Leider kommen dabei vollkommen andere Ergebnisse raus als bei dem normalen Messmodus. Das heißt ich kann ein und denselben Verbraucher (nichtlinear) mit dem selbem Messgerät messen und bekomme zwei verschiedene Messergebnisse.
Jetzt stellt sich mir natürlich die Frage was richtig ist. MUSS ich bei nichtlinearen Verbrauchern zwingend eine Fourieranalyse machen und die einzelnen Oberwellen aufaddieren um die Gesamtleistung zu bekommen? Wo liegt mein Denkfehler?

[White_Fox]

Wenn ich das richtig sehe, hat das eine nichts mit dem anderen zu tun. Und was meinst du mit einem linearen Verbraucher...?

Der "normale" Modus misst eben das, was das Gerät an Leistung aufnimmt.
Die Fourier-Analyse ist eher interessant, um Rückwirkungen eines Verbrauchers insbesondere in Drehstromnetzen zu untersuchen. Durch die nicht-sinusförmige(!) Stromentnahme z.B. von Schaltnetzteilen oder netzgeführten Wechselrichtern entstehen (neben der grauenhaft verzerrten Stromkurve) Oberwellen, die die Leitungen zwar belasten und sinnlos Energie hin- und herpendeln, sonst aber nutzlos sind und von normalen Messgeräten gar nicht erfasst werden können.
Gerade in asymetrisch belasteten Drehstromnetzen stellen Oberwellen eine heute noch häufig unterschätzte Gefahr dar. Zahlreiche ungeklärte Hausbrände gehen wahrscheinlich auf das Konto zu schwach dimensionierter Neutralleiter, die nach alten Theorien eigt kaum bis keinen Strom führen sollten, und in denen man mit normalen Messgeräten auch keinen Strom mißt, obwohl das Kabel kochend heiß ist.
Mit einer Fourier-Analyse lässt sich dies jedoch messen bzw. errechnen. Fatalerweise hat man in der Norm (frag mich jetzt nicht welcher, möglich dass das sogar schon wieder geändert wurde) unter gewissen Umständen erlaubt, den Querschnitt des N-Leiters gegenüber den Phasen zu reduzieren, was die ganze Geschichte noch verschlimmert.

Mein Dozent hat uns vor ein paar Wochen auf dieses Thema aufmerksam gemacht. Da hat er uns auch erzählt, wie er in einer Anlage die Stromversorgung untersucht hat, da sich die Betreiber die heißen Kabel nicht erklären konnten, da sie mit ihrem Messgerät kaum Strom gemessen haben. Eine Fourier-Messung ergab dann über 2000A auf dem Nullleiter...

[ichbinsisyphos]

Ich versteh nicht ganz wie die Oberwellen zu einer höheren Belastung führen können, außer in dem Sinne, dass die veränderte Wellenform eine etwas höhere mittlere Leistung als eine Sinuswelle überträgt. Und natürlich bei Anwendungen in denen die Stromänderungsrate entscheidend ist.

Und grundsätzlich, werden in dem MEssmodus einfach die Amplituden der einzelnen Frequenzen aufsummiert ohne Rücksicht auf die Phasenbeziehung?

[White_Fox]

Ich bin kein Experte...hab ja noch nichtmal fertigstudiert. Ströme werden schon aufsummiert, genau, aber natürlich unter Berücksichtigung von Phasenlage und Vorzeichen.
Manche Oberwellen heben sich dann gegenseitig auf-andere jedoch verstärken sich dann erst richtig.
Ich habe dazu mal eben eine kurze Präsentation gefunden.
http://www.fv-bkw.de/content/download/Oberwellen%5B1%5D.pdf
Insbesondere die Folie 17 ist interessant. Da sieht man sehr schön wie groß der Strom im Neutralleiter dann gegenüber der Phasenströme werden kann...

[ichbinsisyphos]

Aso, ja das mit dem 3-Phasendrehstrom ist interessant, aber auch ein sehr spezieller Fall.

[White_Fox]

Nö...so speziell ist der gar nicht.
Lad dir ein paar Kumpels ein und vernastalte eine LAN-Party. Wenn du dann an jeder Phase zwei Rechner nebst Monitoren zu jodeln hast wird das recht spaßig...

[ichbinsisyphos]

Ich mein es ist ein spezieller Fall im Hinblick auf die Oberwellen.

[White_Fox]

Hm...ich versteh nicht was du meinst.

Meinst du, das Drehstromsystem überhaupt ist ein Spezialfall?
(Und ein einphasiges Netz wäre z.B. ein "Normalfall"?)