Ein Sportwagen hinter einer von drei Türen

[Thegon]

Hallo allerseits,

ich bin beim Lesen in einem Buch auf ein für mich sehr interessantes Rätsel gestoßen, villeicht kennen es einige von euch schon, aber ich denke, es ist es wert, es hier zu posten. Dieses Rätsel hat zwar nicht direkt mit Elektronik/Robotik zu tun, aber mit Mathematik schon.

Es geht um eine Quiz-Show:
Ein Kandidat wird, nach dem er alle Fragen richtig beantwortet hat vom Quizmaster vor drei Türen gestellt. Hinter einer befindet sich ein neuer Sportwagen, hinter den anderen zweien ein Trostpreis. Der Kandidat weiß natürlich nicht, hinter welcher der Sportwagen steht, der Quizmaster aber schon.
Nun darf sich der Kandidat vor eine Tür stellen, hinter der er den Sportwagen vermutet.
Soweit noch nichts besonderes, aber nun öffnet der Quizmaster eine der beiden Türen, vor denen der Kandidat nicht steht und von der er (der Quizmaster) weiß, dass sich ein Trostpreis hinter ihr befindet.
Jetzt hat der Kandidat noch einmal die Möglichkeit, seine Entscheidung zu ändern und auf die andere verschlossene Tür zu wechseln, kann aber auch vor der bisherigen Tür stehen bleiben.

Und nun zur eigentlichen Frage:
Gibt es einen "wahrscheinlichkeitsrechnerischen" Grund dafür, dass der Kandidat auf seinem bisherigen Platz beharren sollte oder die Tür wechseln sollte oder ist das total egal und einfach nur Glückssache?
Dann werden natürlich die Türen geöffnet und der Kandidat wird sehen, ob er die richtige Entscheidung getroffen hat.

Nur noch als kleine Anmerkung: Im Buch steht neben der Lösung auch noch, dass sich eine Reihe von nahmhaften Mathematikern lange zeit darüber den Kopf zerbrochen haben, ob es irgenteinen Grund gibt...

Bin schon gespannt ob jemand draufkommt oder ob jemand villeicht das Buch kennt, wie es heißt, verrate ich jetzt noch nicht.

Mfg Thegon

[meistervolker]

Das ja stark ,
ich lege mal los - wenn der Quizmaster tatsächlich eine Tür öffnen kann ( weil der Kandidat nicht zufällig vor der richtigen steht ) bleibt die Wascheinlichkeit 50/50 und so mit Glück !!!
Ich behaupte (es gibt ja eine Statistik ) das stehenbleiben den meisten Kanidaten das meiste Glück beschert hat ,und auf grund dieser Statistik kann die Warscheinlichkeit beruhen die man berechnen kann aber dennoch kann er Glück haben !!

Na ??? gibt es noch einen Tip ??

[Thegon]

Naja, Tip ist schwierg,
ich kann nur sagen, wenn die Antwort darauf einfach nur glück und Zufall wäre und dass eben die meisten kandidaten Glück haben, wenn sie stehen bleiben (ob das nun so ist oder nicht, darüber lässt sich streiten), dann wäre die Antwort doch etwas simpel, dafür dass sich die Wissenschaftler die Köpfe zerbrechen...
Wichtig ist eben die Wahrscheinlichkeiten von richtig und Falsch zu bedenken und zu kombinieren, mehr darf ich nicht sagen.
Freue mich, dass dir das Rätsel gefällt ;-)

Mfg Thegon

[Thegon]

Ah, jetzt sehe ich noch was:
Nach der ersten Runde, also wo noch alle drei Türen geschlossen sind, werden nie Alle drei türen geöffnet, ganz egal, ob der Kandidat richtig oder falsch steht. Es öffnet zuerst immer der Quizmaster eine der zwei Türen, vor denen der Kandidat nicht steht und von der er weiß, dass sich der Sportwagen nicht dahinter befindet. Das ist villeicht vorher noch nicht ganz klar rausgekommen.
Und bitte als grund etwas Mathematisch/Wahrscheinlichkeitsrechnerisch belegbares angeben, denn es kann schon sein, dass Kandidaten STATISTISCH gesehen mehr Glück beim Stehenbleiben haben, das belegt dies aber nicht WAHRSCHEINLICHKEITS-rechnerisch.
Viel Spaß noch beim Weiterrätseln ;-)
Mfg Thegon

[radbruch]

Ich bin auch für die intuitive 50:50-Lösung. Aber das soll nichts bedeuten:
http://www.google.de/search?q=Ein+Sportwagen+hinter+einer+von+drei+Türe n

Spannend sind auch die Diskussionen bei Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem

Das hat mich überzeugt:
http://www.gfksoftware.de/Ziegenproblem/

[Thegon]

Interessant, wieviel es schon dazu im Netz gibt. Es scheint ein sehr bekanntes Problem zu sein, wo zwar ein sinnvoller Lösungsweg besteht, aber noch nicht eindeutig ist. Seltsam, laut meinem Buch ist die Lösung nämlich ganz eindeutig.
Hat dich (radbruch) das : http://www.gfksoftware.de/ziegenproblem zur 50 : 50 Lösung überzeugt?

Mfg Thegon

[radbruch]

Ja, das hat mich überzeugt. Ich habe mich zwar erst 'ne halbe Stunde eingelesen und bin "nur" Realschüler, aber beim nackten Spiel, ohne irgendwelche Vorraussetzungen und taktische Annahmen über das Verhalten des Moderators, sehe ich nach dem Öffnen der ersten Tür genau zwei Möglichkeiten: Ich habe die richtige Tür gewählt oder nicht. Dass hinter der schon geöffneten Tür kein Auto steht hilft mir nicht weiter, denn nun startet das Spiel ja eigentlich neu mit nur zwei Türen...

[Edit]
Möglicherweise liege ich ja falsch:
http://www.naklar.at/content/features/monty_hall/

[oZe]

Als kleinen Tipp kann ich euch Empfelen den Film "21" zu schauen ;-)

[Thegon]

Hmm, ja, ich glaube das Problem besteht darin, dass die Regeln nicht überall ganz gleich sind. In Meinem Buch sind die Regeln ganz fix. Der Quizmaster muss eine Tür öffnen und dem Kandidaten den Wechsel anbieten, egal wie er steht (wie ich es weiter oben schon einmal geschrieben habe). Das scheint nicht wirklich so zu sein, laut wikipedia/Ziegenproblem. Da gibt es nette Moderatoren, die einen wechsel nur anbieten wenn nicht... und Böse, die nur wenn...
Ich denke, sobald der Moderator kann, aber nicht unbedingt muss, wird es mathematisch sehr schwierig.

Ich möchte meine Lösung bzw. die Lösung im Buch noch nicht verraten, damit noch andere ihre Meinung schreiben können, ich muss aber dazusagen, dass meine Lösung nur richtig ist, wenn die Regeln gelten, die ich im weiter oben in diesem Thread genannt habe.
Mfg Thegon

[Calis007]

Ganz einfach: der Kandidat stellt sich ohne irgendein Wissen vor eine der Tueren.
P(richtige Tuer)=1/3,
P(falsche Tuer)=P(der Superpreis ist hinter einer der anderen beiden Tueren)=2/3
Der Quizmaster (mit Wissen) oeffnet eine Tuer mit Trostpreis.
An der P(der Superpreis ist hinter einer der anderen beiden Tueren)=2/3 hat sich aber nichts geaendert - bloss weiss der Kandidat nun von einer Tuer, dass dahinter nichts ist, also bleiben die 2/3 fuer die verbleibende Tuer. Also: unbedingt wechseln, das verdoppelt die Gewinnchance (sonst bleibt man ja auf dem 1/3 sitzen).
Vor der Info vom Quizmaster kann man ja nicht gezielt wechseln, weil 2 Tueren da sind mit je 1/3, nachher schon..

Wer's nicht glaubt, kann ja mal ein Programm schreiben und eine Million Versuche durchrechnen lassen. Das Ergebnis ist eindeutig :)

Edit: Intuitiv klarer ist es, wenn man sich vorstellt, dass es eine Milliarde Tueren gibt, ein Sportwagen, sonst nix. Kandidat waehlt eine. Quizmaster (mit Wissen!) macht 999,999.998 Tueren auf, wo nichts dahinter ist. Wo wird der Wagen wohl sein :p Wuerde da jemand immer noch nicht wechsen wollen? Die Wahrscheinlichkeit, dass ich von Haus aus die richtige von 1 Mrd Tueren gewaehlt habe, is ja wohl SEHR gering, aber das Wissen vom Quizmaster ist eben sehr nuetzlich :P Wechseln, und man hat praktisch mit Sicherheit den Hauptgewinn (im Schnitt nur 1 von 1 Mrd Kandidaten - das arme Schwein, das wirklich trotz geringster Wahrscheinlichkeit gleich den Wagen gewaehlt hat - wird durchs Wechseln verlieren)

[Thegon]

Es häng wirklich sehr stark von den Regeln ab. Sind die Regeln so, wie ich sie oben festgelegt habe, dann scheint mir meine Lösung aus dem Buch eindeutig aber nach den Artikeln von Radbruch fängt man an, sich viele Gedanken zu machen...

Was anderes: Film "21": Worum geht es da? Ist das etwa ein Film zu diesem Problem?

Mfg Thegon

[radbruch]

Quizmaster macht 998 Tueren auf, wo nichts dahinter ist.Ach so. Jetzt hab ich's auch kapiert. Zu Beginn hatte ich 1000 Türen und wählte eine mit 1:1000 Wahrscheinlichkeit. Nach dem Öffnen der 998 Türen ist die Chance für das Auto hinter der anderen Tür 999:1000.

Also bin ich jetzt auch für 2/3 ;)

[Calis007]

Hab mir die Artikel nicht angesehen, aber viel einfacher kann Wahrscheinlichkeitsrechnung ja gar nicht sein.
Mit der Strategie 'nicht wechseln' gewinne ich den Preis genau mit der Wahrscheinlichkeit, mit der ich von Haus aus die (eine) richtige Tuer gewaehlt habe (P=1/n, n=Anzahl der Tueren)
Mit der Strategie 'wechseln' gewinne ich, wenn ich von Haus aus eine der (n-1) falschen Tueren gewaehlt habe. Durch das Wissen des Quizmasters ist es voellig egal, welche der falschen Tueren ich gewaehlt habe, es bleibt immer die richtige ueber(P=(n-1)/n).

[Thegon]

Nun, ich lasse das Thema noch bis morgen offen, villeicht will ja noch jemand seine Meinung dazu schreiben, es kommt ja auch schon einigkeit auf.
noch zu Calis007:
Wie kannst du sagen, dass immer die richtige überbleibt? Nehmen wir an, der Kandidat steht schon in der Ersten Runde vor der Richtigen Tür und wählt nun Strategie "wechseln" dann steht er doch falsch, oder?

Mfg Thegon

[Thegon]

Ach so, jetzt hab ich das von Calis007 verstanden, die richtige bleibt immer über, wenn vorher die Falsche gewählt wurde, was darüber stand.
sry
Mfg Thegon

[Calis007]

Genau, Thegon. und da es eben von Haus aus mehr falsche als richtige gibt, sollte der Kandidat also wechseln - weil er eben mit groesserer Wahrscheinlichkeit vor einer falschen steht als vor der richtigen :)

[PICture]

Hallo!


... weil er eben mit groesserer Wahrscheinlichkeit vor einer falschen steht als vor der richtigen :)

Wie hast du das ausgerechnet ? ;)

[meistervolker]

Na ja ,
auch bei der Rechnung 2:1 ,also Logischer wechsel - ist das Glück immer noch nicht ganz aus dem Spiel auch wenn die Warscheinlichkeit dafür spricht und ich Warscheinlich die falsche der Milliarden Türen getroffen habe (Statistisch ist es immer noch Warscheinlicher bei drei Türen Intuitiv richtig zu entscheiden !!
Aber alle Achtung ,wer sich da tatsächlich schon alles den Kopf zerbrochen hat ,macht echt spass zu lesen !!
Die Wechselrechnung scheint also logisch !!

[PICture]

Die Wechselrechnung scheint also logisch !!

Für mich ist eben nur logisch, was beweisbar ist ... ;)

[meistervolker]

Ja gut ,
das erklärt -warum ich immer noch Fahrrad fahre .... und du einen ......?

[PICture]

Ich habe mal festgestellt, dass meine intuitive Entscheidung falsch seien könnte ...

[Thegon]

Ja gut,
also ich denke, dass es wenig Sinn macht, das Thema noch länger offen zu lassen, da die richtige Lösung schon öfters gegeben worden ist.
Zur Lösung: sie ist zum Beispiel von Calis007 schon gegeben worden, hier noch einmal 1:1 aus dem Buch:


Tatsächlich sollten Sie ihre ursprüngliche Wahl immer ändern.
Der Grund dafür ist, dass die ersten beiden Runden miteinander zusammenhängen und keine unabhängigen Ereignisse sind und dass sie nicht wissen, welche die richtige Tür ist, bis beide Runden gespielt sind.
In der ersten Runde beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Gewinntür wählen, 1/3. Haben sie die Richtige gewählt, so würden Sie verlieren, wenn Sie sich in der nächsten Runde für eine Andere Runde entscheiden, egal, welche der beiden anderen Türen geöffnet wird. In der Ersten Runde haben sie aber eine Chance von 2/3, eine Trostpreistür treffen. In diesem Fall muss der Quizmaster die andere Trostpreistür in der zweiten Runde öffnen, und sie gewinnen den Hauptpreis, wenn sie ihre Entscheidung ändern .
Natürlich wissen Sie nicht, ob sie in der ersten Runde richtig entschieden haben, aber die Wahrscheinlichkeit, dass sie es nicht getan haben liegen bei 2/3, und das ändert sich nicht durch das öffnen der Tür in der zweiten Runde. Es ist also doppelt so wahrscheinlich, dass sie in der ersten Runde falsch entschieden haben. Folglich ist es auch doppelt so warscheinlich, dass sie den Wagen gewinnen, wenn sie in der zweiten Runde eine andere Tür wählen, als wenn sie bei ihrer Wahl bleiben.
Das ist zwar kein Garantie für den Sieg, aber immerhin eine 2/3 Chance für ein Neues Auto.

Soweit aus dem Buch.
Dieses "Buch" heißt übrigens "Pi mal Daumen, was Zahlen erzählen" und ist von Jamie Buchan geschrieben. Es ist kein Nachschlagwerk für Mathematik, aber es stehen sehr viele interessante dinge über Zahlen drin, über Altertümliches, Sprichwörter, Goldener Schnitt, Relativitätstheorie, null und Unendlich und so weiter.
Ich kann es an Interessierte nur weiterempfehlen.
Dann erkläre ich hiermit dieses Thema als geschlossen, und freue mich, dass einige mitgedacht/gerechnet haben.:)

Mfg Thegon