Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Das Hund Jäger Problem (=
Hallo:
Ich habe irgendwie ein Verständnissproblem zu folgender Situation:
Ein Jäger ist mit seinem Hund 5km von seinem Haus entfernt. Er geht mit 5km/h Geschwindigkeit nach Hause. Sein Hund rennt mit 10km/h bis zum Haus und kehrt dann wieder zum Jäger zurück.Das macht er jezt immer wieder.
(Die Aufgabe kennt wahrscheinlich jeder)
Das heißt, der Jäger ist nach einer Stunde in seinem Haus.
Der Hund müste doch unendlich viele Kilometer gelaufen sein. Da er aber nur 10 km/h schnell laufen kann, dauert es unendlich lange.
Wie kann es dann sein, dass der Jäger nach einer Stunde zu Hause ist?
Bzw wo ist mein Denkfehler?
Kennt wer die Lösung hierzu?
Lg
Kimba
BastelWastel
25.10.2010, 18:42
Gegenfrage...warum sollte der Hund unendlich lange brauchen wenn er mit 10kmh doppelt so schnell ist wie der Jäger?
Der Jäger is nach ner Stunde zu Hause weil er mit 5kmh...für 5 km -> 1h braucht..
Oder versteh ich dich falsch?
Ja aber der Hund läuft ja immer wieder zurück zum Jäger. Also Halbiert sich der Weg, den der Hund vom Haus zum Jäger laufen muss jedes mal.
Also:
10:2=5
5:2=2,5
2,5:2=1,75
...
Das heist, das der Hund niemals ankommen wird. Da er aber trotzdem mit 10km/h läuft, wird er nach meiner Vorstellungskraft unendlich lange brauchen, wobei er einer unendlich lange Strecke läuft.
Oder nicht?
.:markus:.
25.10.2010, 19:28
Ich versteh deine Auslegung nicht. Warum unendlich?!?
Das mit dem Halbieren ist meines Erachtens zwar schon nicht schlecht aber da fehlt noch was, denn:
1) Der Hund rennt zum Haus:
Das braucht genau eine halbe Stunde, denn t=s/v=5km/(10km/h)
In der gleichen Zeit ist der Jäger 2,5km gegangen.
2) Der Hund rennt zurück zum Jäger, hier gilt es den Treffpunkt finden.
Es gilt: Strecke_Hund + Strecke_Jäger = 2,5km
Zeit*(Geschwindigkeit_Hund+Geschwindigkeit_Jäger)= 2,5
-> Zeit = 2,5/(10+5) = 0,1666h
Nach 0,16h treffen sich die beiden also wieder, der Hund hat in
dieser Zeit eine Strecke von 0,1666*10 = 1,6km zurückgelegt,
demnach ist der Jäger nur noch 1,6km vom Haus entfernt.
3) Der Hund rennt zum Haus
für 1,6km braucht dieser 0,16h, in dieser Zeit legt der Jäger
0,86km zurück
3) Wieder wie Punkt 2) zu behandel aber nur mehr mit
1,6-8,86=0,8km
Für das ganze kannst du dann eine Reihe aufstellen und weißt wie wieviele km der Hund rannte, oder wie die Frage dann auch immer aussieht.
LG
Quatsch: Der Jäger geht in einer Stunde nach Hause, während dieser Zeit bewegt sich der Hund mit 10km/h, legt also 10km zurück.
Welchen Weg der Hund dabei nimmt, ist vollkommen egal.
mfG
Markus
Ja aber wie soll der Hund denn jemals ankommen? Der wird doch immer wieder zurücklaufen. Auch wenn der Jäger nur noch einen Meter vom Haus weg ist, wird der Hund nach Hause laufen, umkehren und wieder zum Jäger.
Oder sehe ich da was falsch?
Ja du siehst das falsch!
Der Jäger ist nach einer Stunde im Haus, also Weg = 0. Also muss der Hund auch nicht mehr laufen.
Ja du siehst das falsch!
Der Jäger ist nach einer Stunde im Haus, also Weg = 0. Also muss der Hund auch nicht mehr laufen.
Einfach "Köstlich". :-) :-) :-)
DAS wäre doch einmal eine Aufgabe für einen AVR: :-)
Gruß Richard
Dann zeig mir mal bitte wann die Strecke die der Hund vom Jäger zum Haus und wieder zurück wirklich GLEICH null ist. ( nicht nur eine unvorstellbar kleine Zahl)
Aber bitte mit dem Anfangswert 10km. Einfach den Jäger auf null setzen kann jeder. Der Hund wird niemals was anderes tun als oben beschrieben!
radbruch
25.10.2010, 20:11
Stell dir vor, der Hund läuft in die andere Richtung und bleibt stehen, wenn der Jäger im Haus ist. Wie weit wird der Hund laufen?
Gleich NULL ist die Strecke genau nach einer Stunde, dann wenn sich der Jäger im Haus befindet.
Fakt ist doch aber das der Jäger genau eine Stunde braucht für seine 5km, der Hund ist also auch eine Stunde unterwegs und bewegt sich mit 10km/h fort. Was gibt es da zu rechnen?
@Richard
Wie wärs hiermit:
int jäger=10;
int köter=0;
while(jäger!=0)
{
jäger--;
köter+=2;
}
Ja aber wie soll der Hund denn jemals ankommen? Der wird doch immer wieder zurücklaufen. Auch wenn der Jäger nur noch einen Meter vom Haus weg ist, wird der Hund nach Hause laufen, umkehren und wieder zum Jäger.
Oder sehe ich da was falsch?
Das ist vollkommen egal - Der Jäger braucht eine Stunde, der Hund bewegt sich also eine Stunde - Und das macht eben 10km.
Auch wenn der Hund immer kürzere Wege zurücklegt, insgesamt bleibt ihm eben die eine Stunde und die Strecke die er in dieser Zeit zurücklegen kann.
mfG
Markus
Ahhh ja da war der Fehler ](*,)
Danke :cheesy:
Bleibt nur noch eins: Unser Ph Lehrer meint 9,9999999999... (9 komma Periode 9) exakt gleich 10 ist.
Könnt ihr das bestätigen?
:-s
Ich finde die Diskussion bis hierher gut.
Jetzt sollte der entscheidende Schritt kommen, den Vorgang beim Annähern an das Haus nicht immer weiter zeitlich aufzulösen.
Man sollte den Übergang finden, zur oberen Abschätzung des Wegs des Hundes, der nur läuft, solange der Weg zwischen Haus und Jäger größer ist als null.
Sobald der Jäger im Haus ist liegt der Hund in der Nähe vom Ofen, und das ist in diesem System in weniger als einer elementaren Zeiteinheit.
Vielleicht hilft auch ein grafischer Fahrplan mit dem abnehmenden Weg des Jägers zum Haus über der Zeit und dem hin und her des Hundes mit doppelt soviel Weg pro Zeit.
Zu spät, aber das mit der Periode stimmt, es kommt immer noch eine neun die die Differenz kleiner macht als alle Schranken.
Unser Ph Lehrer meint 9,9999999999... (9 komma Periode 9) exakt gleich 10 ist.
Pseudo-Beweis:
1/3 = 0,33...
2/3 = 0.66...
1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 = 0.99...
mfG
Markus
Ich stimme euch so nicht zu.
Wenn ich eine Stunde lang mit 10km/h laufe, dann bin ich 10km gelaufen und nicht 9,999!
.:markus:.
25.10.2010, 21:01
Es sind ja auch nicht 9,99999... Denn über denn Summenbeweis wäre diese Rechnung ja:
5+10 * Summe(1/(3^i), von i=1 bis unendlich) = 10
Hallo!
Wie ich das sehe, sind einige besser als Ph Lehrer. Für mich ist 1=0,(9) auch ein mathematischer Blödsinn ... ;)
MfG
Hallo PICture,
es sind ja auch 0,99999999... (Neun Komma Neun Periode halt). Der "Beweis" über die 1/3 + 1/3 + 1/3 ist naheliegend, weil einfach nachzurechnen. Sicherlich ist es unlogisch, dass "weniger als Eins" dann doch Eins sein soll.
mfG
Markus
.:markus:.
25.10.2010, 21:37
Warum sollen es 0,99999999... sein?
Die geo Reihe hat ja ein q von 1/3, die Summenformel ist ja:
a0 * (1-q^(n+1))/(1-q), der Limes von dem ganzen von n gegen unendlich ergibt dann, dass die summe:
a0 / (1-q) ist. Mit konkreten Zahlenwerten kommt bei mir da 10 raus.
Hallo Markus,
ich hatte die 0,9... als Antwort auf die zweite Frage herangezogen, durch eine einfache Multiplikation mit 10 wird daraus der "Beweis" für 9,9...
Den Hinweis habe ich nur unterschlagen - Und zu der Jäger-Hund-Aufgabe gibt es bei meinem Beispiel gar keinen Bezug.
mfG
Markus
Es passt schon, da nicht um sonst hast du doch "Pseudo-Beweis" geschrieben ... :)
Ich würde Grenzrechnung und einfache Arithmetik nicht miteinender mischen. So weit ich mich noch errinern kann, habe ich sogar im Gymnasium noch nicht lernen müssen, dass 1/unendlich = 0 ist ... ;)
MfG
sehr interressant das ganze. da red ich mal mit meinem Mathelehrer drüber ;-)
BurningBen
25.10.2010, 22:54
@Picture
lim x->unendlich 1/x = 0
So lernt man das heutzutage in Baden-Württemberg im sprachlichen Gymnasium.
Danke BurningBen. :)
Leider besuche ich schon ziemlich lange keine Schule mehr und kann mir nicht erinnern, wann und was ich alles gelernt habe (z.B. Geschichte), was ich nie im Leben gebraucht habe ...
MfG
Danke BurningBen. :)
Leider besuche ich schon ziemlich lange keine Schule mehr und kann mir nicht erinnern, wann und was ich alles gelernt habe (z.B. Geschichte), was ich nie im Leben gebraucht habe ...
MfG
Ich habe mir damals auch den AXXXX aufreißen müssen für Dinge die ich später (im Leben) nie gebraucht habe. :-( Trotzdem hat es letztendlich einen Sinn gehabt, man bekommt mehr Chancen die Welt klarer zu sehen. :-)
Gruß Richard
SprinterSB
26.10.2010, 19:18
Hallo PICture,
es sind ja auch 0,99999999... (Neun Komma Neun Periode halt). Der "Beweis" über die 1/3 + 1/3 + 1/3 ist naheliegend, weil einfach nachzurechnen. Sicherlich ist es unlogisch, dass "weniger als Eins" dann doch Eins sein soll.
Markus
Nein, es ist nicht weniger als Eins.
Das einzig ungewohnte daran ist, daß 1 keine eindeutige Darstellung als Dezimalzahl hat. Eine Darstellung ist 1, die andere ist 0,(9)
Setze zB
X = 0,(9)
dann ist
10*X = 10 * 0,(9) = 9,(9)
X davon abziehen
9*X = 9,(9) - 0,(9) = 9
und somit
X = 1
SprinterSB
26.10.2010, 19:22
Das ist überigens das Verfahren mit dem man jeden periodischen Dezimalbruch in eine Bruch, also den Quotienten zweier ganzer Zahlen, umwandeln kann. Das geht analog für andere Stellenwertsysteme und das gleiche in Grün für's Bualsystem mit Fiffi und Herrchen von oben:
10 = 0,(1) im Binärsystem
Hallo!
@ SprinterSB
Sicherlich meinst du 10b = 1,(1)b, oder 2d = 1,(1)b ?
Übrigens, für mich war bisher immer 1 eindeutig 1, bin aber eher ein Praktiker mit theoretischem Hintergrund ... :)
MfG
Das mit 1/3 + 2/3 halte ich nicht für ein Beweis. Das ist einfach nur so, weil das Dezimalsystem nicht damit klar kommt. Sobald man in einem (imaginären) 3er System rechnet gibt es gar kein Problem. (0,1)3 + (0,2)3 = (1)3 . Da gibt es gar kein Problem.
Aber da 9,999999... nicht durch irgend eine Rechnung zustande gekommen ist kann man damit leider nicht beweisen, das es 10 ist.
Äh - Doch?
3 * 0,33333... = 3 * (0,3 + 0,03 + 0,003 ...)
= 0,9 + 0,09 + 0,009 ... = 0,999...
Als Frage formuluert: Warum soll 1/3 + 1/3 = 2/3 = 0,666... sein, aber mit weiteren 1/3 dazuaddiert ungleich 0,999... ?
mfG
Markus
SprinterSB
26.10.2010, 21:13
@ SprinterSB
Sicherlich meinst du 10b = 1,(1)b, oder 2d = 1,(1)b ?
Ja. Im Binärsystem wie gesagt.
Die komische Forensoftware erlaubt allen Schnickschnack, aber wohl nicht, Indices zu verwenden.
HTHL:
10<sub>2</sub> = 0,(9)<sub>2</sub>
LaTeX:
10_2 = 0{,}\bar{9}_2
Als Frage formuluert: Warum soll 1/3 + 1/3 = 2/3 = 0,666... sein, aber mit weiteren 1/3 dazuaddiert ungleich 0,999... ?
Genau das ist ja der Punkt. Wenn man die Addition im 3er System durchführt kommt glatt 1 raus. wenn man 0,33...+0,66... im Dezimalsystem rechnet kommt 0,99... raus. Obwohl Dezimal und 3er nur eine andere Schreibweise ist.
LG
Kimba
... was indirekt auch aussagt, dass 0,999... = 1 !
mfG
Markus
kann ich das als ausrede für schlechte Mathenoten nehmen?
wenn ich innner klausur sowas rausbringen würde wären das 0 punkte
... was indirekt auch aussagt, dass 0,999... = 1
Genau und das ist jezt das Problem.](*,)
Einerseits ist 0,99...=1 andererseits auch nicht, da man ja niemals auf die 1 kommen wird.(so verstehe ich die Periode :-k )
Um mal wieder zum Thema zu kommen. Es scheint folgendermaßen:
Der Hund ist schneller als der Jäger, also kann der Jäger den Hund nie überholen!
Dadurch ist der Hund immer als erster am Haus, dreht um und läuft dem Jäger immer entgegen. Obwohl dieser in der Zwischenzeit einen bestimmten Weg zurückgelegt hat, wird ihm der Hund immer entgegen kommen, sodass der Jäger sein Ziel scheinbar nie erreicht.
Dabei wird der Weg, den der Jäger von einer Begegnung zur nächsten zurücklegt immer kleiner und geht letztlich gegen Null.
Andererseits, wird auch der zeitliche Abstand von Begegnung zu Begegnung immer kleiner und geht ebenfalls gegen Null...
Es liegen also 2 von einander abhängige Grenzwerte vor.
Und genau hier liegt der Hase im Pfeffer dieses scheinbaren Paradoxon. Um den Limes mathematisch korrekt zu definieren, muss man diese Abhängigkeit berücksichtigen.
Anders gesagt: Es handelt sich hier zwar um einzelne unendliche Reihen (n -> unendlich), insgesamt aber konvergiert die Reihe gegen einen bestimmten Wert, nämlich denjenigen, der am Treffpunkt gilt.
In diesem Fall sind es Entfernung und Zeit, was insgesamt einer Geschwindigkeit entspricht... Diese ist aber von vornherein festgelegt, sodass schon alleine dadurch klar wird, dass sie konstant ist und nicht erst mathematisch bestimmt werden muss...
Trotzdem, der Grenzwert von 0/0 oder unendlich/unendlich ist nicht ohne weiteres bestimmbar, man benötigt "Werkzeuge" wie z.B. die Regel von L’Hospital (als Beispiel...), um sie zu lösen.
Es ist aber schon recht spät und vor allem viel zu lange her, dass ich mich mit soetwas befasst habe...
Also wünsch' ich vor allem eine gute Nacht.
Gruß
Ja im nachhinein erscheint es mir auch schlüssig. Habe einmal einen falschen Denkansatz gehabt und bin nicht drauf gekommen (=
Ich dachte irgendwie, dass das ja immer nur geteilt wird und der Hund nicht ankommen könnte. Was richtig wäre, wenn dieser fiese Jäger nicht da wäre.
Das war irgendwie so eine Frangfrage. Der Ph Lehrer meinte das das der überwiegende teil der Klasse macht, wenn er kurz vorher ein bestimmtes Mathe Thema angesprochen hat.
Änlich wie das hier: https://www.roboternetz.de/phpBB2/viewtopic.php?p=523913#523913
O:)
In Fällen wie diesem sollte man sich immer auf seinen gesunden Menschen- oder aber auch Roboter-Verstand verlassen: Kann es wirklich so sein?
Wenn nein, dann ist es eindeutig paradox und wenn das stimmt, dann ist definitiv ein Denkfehler enthalten.
Das ist eine wichtige Erkenntnis. Ein Paradoxon ist etwas Erhellendes! Hat man eines gefunden, weiß man, dass man einem Denkfehler unterliegt, denn dadurch zeichnet es sich aus!
Gruß
DIe Jägerhundgeschichte erinnert mich an die Behauptung, dass irgendein fixer griechischer Held niemals eine Schildkröte einholen kann, die nur 1/10 seiner Speed draufhat (wenn sie auch nur 1 m Vorsprung hat).
Wer es nicht kennt:
Läuft der Held diesen Meter, bewegt sicht die Kröte 10 cm, ist also immer noch vor ihm.
Läuft er die 10 cm und die Kröte 1 cm, hat er sie immer noch nicht eingeholt.
usw, usw.
er holt sie jedenfalls nie wirklich ein.
Wo ist hier der Hund des Jägers begraben ?
SprinterSB
28.10.2010, 17:42
http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkr%C3%B6te
@ SprinterSB
Sicherlich meinst du 10b = 1,(1)b, oder 2d = 1,(1)b ?
Übrigens, für mich war bisher immer 1 eindeutig 1, bin aber eher ein Praktiker mit theoretischem Hintergrund ... :)
waaahhh, ok hab erst jetzt meinen Tippfehler gesehen. Sollte heissen
1 = 0,(1)b
Das mit dem Jäger und dem Hund und mit dem der die Schildkröte jagt sind ja irgenwie nette Geschichten über die man sich lange unterhalten kann. Warum eigentlich?, aus einer anderen Perspektive ist ja dann die Lösung ganz klar.
Beispielsweise beim Jäger der eine bestimmt Zeit braucht um mit seiner Geschwindigkeit das Haus zu erreichen und dem Hund der die doppelte Strecke pro Zeit läuft. Es ist einem doch eher irgendwie peinlich dass man den klaren Ansatz nicht bemerkt hat, so wie wenn man einen Wald nicht sieht weil lauter Bäume davor stehen.
Es gibt da noch die Geschichte mit dem Rennfahrer der zwei Runden mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120km/h fahren soll und der sich zunächst nicht sehr beeilt hat, mit 60km/h ist er die erste Runde gefahren, und muss eben in der zweiten Runde ganz schön zulegen, eher über 180 muss er dann, oder sogar 240? damit kann man auch ganz schön ins Grübeln kommen, bis man die Lösung sieht und es einem irgendwie wie Schuppen von den Augen oder aus den Haaren fällt.
Falls es wirklich schwer fallen sollte sich über die Lösung klar zu werden, Entschuldigung auch wenn ich die Diskussion als zu ernsthaft auffasse, immerhin sind wir ja im Offtopic Bereich, es hilft hier jeweils ein Weg Zeit Diagramm in dem man sich in einem Bild die Lösung qualitativ ansehen und damit auch leicht beschreiben kann.
Wenn man sucht, fidet man immer etwas, was nicht stimmt.
Wenn ich z.B. annehme, dass der Jäger sich schrittweise und nicht mit permanenter Geschwindigkeit bewegt und der Hund zum Umdrehen auch gewisse Zeit braucht, darf ich bezweifeln, dass der Hund genau die doppelte Strecke zum Laufen hat, oder ? ;)
Bei solcher Denkweise sind leider fast keine Schulaufgaben lösbar und ich wundere mich selber, wie ich alle Schulen hinter mich gebracht habe.
Wahrscheinlich nur deswegen, weil ich nie diskutiert habe, wenn ich sogar überzeugt war, dass ich der jenige bin, der Recht hat ...
MfG
SprinterSB
28.10.2010, 19:53
In Fällen wie diesem sollte man sich immer auf seinen gesunden Menschen- oder aber auch Roboter-Verstand verlassen: Kann es wirklich so sein?
Wenn nein, dann ist es eindeutig paradox und wenn das stimmt, dann ist definitiv ein Denkfehler enthalten.
Das ist eine wichtige Erkenntnis. Ein Paradoxon ist etwas Erhellendes! Hat man eines gefunden, weiß man, dass man einem Denkfehler unterliegt, denn dadurch zeichnet es sich aus!
Gruß
Der Haken ist, daß man nicht immer mitbekommt, wenn ein Paradoxon zuschlägt und man garnicht mit erhöhter Aufmerksamkeit unterwegs ist. Gerade mit immer wieder veröffentlichten Statistiken muss man sehr vorsichtig sein. Je nachdem wie man (oder wer :-)) draufschaut und es veröffentlich, kann es ganz gegensätzliche Thesen untermauern, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Simpson-Paradoxon
Sehr überraschend ist auch das Braess-Paradoxon. "Weniger ist mehr":
http://de.wikipedia.org/wiki/Braess-Paradoxon
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