Berechnung der Zahl Pi

[robodriver]

Hey Leute,

ich hab mir mal den Spaß gemacht und versucht die Zahl Pi so exakt wie möglich zu berechnen.
Ich bin nun mittlerweile auf 12 nachkommastellen gekommen.

Mein Ziel ist es mindestens 20 Stellen zu schaffen. Und das möglichst ohne das der PC dafür eine Stunde rechnen muss.

Es gibt ja viele Möglichkeiten Pi zu berechnen.
Über ein annäherungsverfahren habe ich es bereits versucht. Mehr als 6 Stellen habe ich da in einer überschaubaren Rechenzeit nicht hin bekommen.

Dann habe ich es weiter versucht und bin den Umfang über Pytagoras Dreiecke abgefahren.
Einen viertel Kreis in ein Koordinatensystem gelegt. Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises. und dann immer von einer Dreickspitze zur Spitze des nächsten dreics die Strecke aufaddiert bis ich den viertel Kreis voll hatte.

Über diese Methode bin ich immerhin auf 12 Nachkommastellen gekommen.
Dazu brauchte es zwar ganze 10 Millionen Dreicke im viertel Kreis und 10 Minuten Rechenzeit, aber es hat funktioniert.

Das kuriose ist: Wenn ich es auf 60 Millionen Dreiecke erweitere, dann müsste es ja theoretisch noch genauer werden. Dann stimmten allerdings nur noch 11 Stellen überein...

Das kann ich mir nicht so ganz erklären.

Aber vielleicht können wir hier mal einen kleinen Wettbewerb starten und schaun wer die meisten Stellen richtig berechnen kann und vorallem: Über welchen Rechenweg.

Bin gespannt was so bei heraus kommt. :)

Und zum vergleich hier mal die erste million Nachkommastellen:
http://www.exploratorium.edu/pi/Pi10-6.html

Also wenn ich 10 Minuten für 12 Stellen brauch, da frag ich mich wie lange die für die 1 Million Stellen gebraucht haben... ;)

[PicNick]

Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises.

Du meinst aber schon den Durchmesser ?

[robodriver]

nein ich mein den Radius.
Weil ich von einem viertel Kreis ausgehe.

Die Hypotenuse geht dann von Kreismittelpunkt zum Kreis

[oberallgeier]

Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises.

Du meinst aber schon den Durchmesser ?Da darf ich Dir vorsichtig und höflich widersprechen. Die Winkelfunktionen sind Funktionen des Einheitskreises. Der aber ist der Kreis mit dem Radius "1". Die Winkelfunktionen sind (daher) auch gut erklärbar mit einem um den Kreismittelpunkt laufenden Halbstrahl.

Wenn Du Dir das Ganze aufzeichnest, wirst Du merken, dass es rechtwinkelige Dreiecke (auf denen "der Pytagoras" beruht) beim Kreis nur am Thaleskreis, allerdings da unendlich viele, gibt - aber man kann aus denen wirklich keine Winkelfunktionen ablesen.


... ein annäherungsverfahren ... kuriose ist: Wenn ich es auf 60 Millionen ... erweitere ... stimmten allerdings nur noch 11 Stellen überein ...Das ist ein sicherer Hinweis darauf, dass das von Dir angewendete Verfahren nicht konvergiert. Hast Du es auf Konvergenz überprüft?

[robodriver]

Hm, was ist denn konvergenz?
Davon hab ich noch nie was gehört.

Ich tippe drauf, das der vielleicht die Kommastellen bei der Wurzel oder dem Quadrat nicht vollständig rechnet.

[oberallgeier]

Hm, was ist denn konvergenz? ...Numerische Rechenverfahren KÖNNEN bei steigender Schrittzahl genauer werden, sie müssen es nicht. Wird ein bestimmtes Rechenverfahren mit feiner werdenden Schritten genauer, dann konvergiert es (hoffentlich auf das richtige Ergebnis zu). Tut es das nicht, dann ist die Konvergenz nicht gegeben. Am dümmsten ist es, wenn Verfahren nur abschnittsweise konvergieren.

Zum Überprüfen eines numerischen Verfahrens auf Konvergenz gibt es bestimmte Vorgehensweisen - man kann auch das rechnen, man muss es nicht ausprobieren. Numerik und Konvergenz sind nicht nicht gerade die simpelsten Gebiete der Mathematik. Sorry, wenn ich das in der Kürze nicht besser erkläre.

[robodriver]

Hm okay.
... Was es nicht alles gibt ...

Aber gut, es muss eine besser Möglichkeit geben.
Irgendwie hat man es ja geschafft eine Million stellen zu berechnen...

[dennisstrehl]

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl#Kettenbruchentwicklung

unter "Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form [...]" ist ein Kettenbruch beschrieben, mit dem man Pi deutlich schneller approximieren kann. (Man könnte sagen: "Die Reihe konvergiert schneller gegen Pi".)

Gruß

[ikarus_177]

Hi,

mit einer "fertigen" Reihenentwicklung, wie z.B. dieser hier:

http://upload.wikimedia.org/math/f/9/7/f9733b62958be8751fbab97431c27af5.png

lässt sich pi relativ schnell ausrechnen. Ich habs mal in C++ mit DT "double" ausprobiert, das ging "ruck-zuck" ;-)

Viele Grüße

[robodriver]

Die Hauptfrage ist doch eher:
Wieviele Stellen bekommst du damit EXAKT hin?
Ich kann dir über den Pytagoras auch in 3 Sekunden die ersten 8 Nachkommastellen korrekt berechnen.
Mit solchen Rechenketten bin ich aber noch nie genauer gekommen. Selbst wenn ich bis 100 Million rechne.

Also bitte präzisiere mal deine Aussage "ICh habs ausprobiert, ging ruck zuck" etwas genauer.


Wichtig sind die Daten: Wie weit hast dus durchgerechnet, wieviele Stellen von Pi stimmen mit der echten Zahl Pi überein und wie lange hat die Berechnung in etwa gedauert?

[ikarus_177]

Hi,

ich hab mal eben mein Programm wieder herausgesucht.

Mit der oben stehender Reihenentwicklung ändert sich ab 14 Durchläufen im Wertebereich von "long double" nichts mehr an den Stellen. Wegen Rundungsfehlern (vermute ich mal) und sonstigen Ungenauigkeiten stimmen aber nur 18 (Nachkomma-)Stellen überein.

Die Dauer kann ich nicht genau angeben, sie ist aber weit unter einer Sekunde. Beim Ausführen aus dem Terminal merke ich so gut wie keine Verzögerung der Ausgabe.

Viele Grüße

[oberallgeier]

Hi,

soweit ich mich erinnere, hatte Hilbert kurz vor 1900 die Transzendenz der Zahl Pi bewiesen. Es gibt also kein Ende der Nachkommastellen. Aktuell dürfte (wieder einmal oder noch immer) den Weltrekord an Nachkommastellen Kanada halten (Professor an der Uni Tokio).

Eine Möglichkeit Pi genau zu berechnen (die auch mal von Kanada benutzt wurde) ist:

pi = 48*arctan(1/49) + 128*arctan(1/57) - 20*arctan(1/239) + 48*arctan(1/110443) oder

pi = 176*arctan(1/57) + 29*arctan(1/239) - 48*arctan(1/682) + 96*arctan(1/12943)hoch23

Siehe dazu auch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Yasumasa_Kanada
http://www.spektrum.de/artikel/824381&_z=798888
und natürlich besonders hier: http://www.pi314.at/download/PiPi.exe.html

Damit will ich natürlich diesen interessanten Thread keinesfalls stören. Und eine Anmerkung: ich bin KEIN pi-Enthusiast. Und noch eine: eine gewisse Herausforderung bei dieser Berechnung ist es, einen Algorithmus zu finden, der das Durchschlagen von Rundungsfehlern auf die Berechnung der einzelnen Stellen verhindert.

[robodriver]

Ah okay. Ja, mit dieser Reihe bekomm ich in der Tat auch 14 Stellen hin, bei 10 Durchläufen.

Ich hatte vorher eine andere Reihe versucht:
(1 / (1 ^ 2)) + (1 / (2 ^ 2)) + (1 / (3 ^ 2)) + (1 / (4 ^ 2)) + ........

und das Ergebnis dann mit 6 multipliziert und daraus die Wurzel gezogen.

Aber was hat es denn mit diesen Reihen auf sich?
Eine wirkliche Berechnung von Pi ist es eigentlich nicht oder?
Es ist einfach nur eine Annäherung an das Ergebnis von Pi.

Oder wie muss man das verstehen?

Mein Ziel ist es ja nicht einfach nur durch Rechnung auf eine Zahl zu kommen die gleich Pi ist. Sondern mein Ziel ist es ja eigentlich die Zahl Pi wirklich zu berechnen.

Versteht ihr was ich meine?

[Rambodischie]

http://xkcd.com/10/

[SprinterSB]

Ah okay. Ja, mit dieser Reihe bekomm ich in der Tat auch 14 Stellen hin, bei 10 Durchläufen.

Ich hatte vorher eine andere Reihe versucht:
(1 / (1 ^ 2)) + (1 / (2 ^ 2)) + (1 / (3 ^ 2)) + (1 / (4 ^ 2)) + ........

Wenn es dir um eine möglichst gute Annäherung für Pi geht, solltest du nicht wahllos rumprobieren. Es gibt viele Formeln, die Pi enthalten, so wie dieser Reihe. Aber sie unterscheiden sich extrem in ihrer praktischen Tauglichkeit. Es ist auch Pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9... aber selbst mit 10000 Reihenglieder bringen dich kaum ans Ziel.


und das Ergebnis dann mit 6 multipliziert und daraus die Wurzel gezogen.
Aber was hat es denn mit diesen Reihen auf sich?
Eine wirkliche Berechnung von Pi ist es eigentlich nicht oder?
Es ist einfach nur eine Annäherung an das Ergebnis von Pi.

Nein. Es ist
http://upload.wikimedia.org/math/1/6/6/166019f20bdc902eddb54baf2c9ba107.png
wobei B_n die Bernoulli-Zahlen sind. Für n=1 erhältst du die von dir genannten Reihe, deren Grenzwert exakt Pi²/6 ist.


Oder wie muss man das verstehen?

Mein Ziel ist es ja nicht einfach nur durch Rechnung auf eine Zahl zu kommen die gleich Pi ist. Sondern mein Ziel ist es ja eigentlich die Zahl Pi wirklich zu berechnen.

Versteht ihr was ich meine?

Nein, nicht wirklich... Du kannst Pi im Computer nicht exakt darstellen. Es sei denn du rechnest symbolisch und schreibst Pi hin, aber das bringt dir hier auch nix. Du kannst Pi lediglich auf eine bestimmte Fehlergrenze annähern.

Sehr praktikabel ist die Formel von Borwein & Borwein die, ikarus_177 genannt hat. Mit Float-Arithmetik ist die Formel aber vollkommen vergewaltigt! Es ist eine der erstaunlichsten Formeln für Pi die erlaubt, die n-te Nachkommastelle von Pi ohne die Kenntnis der vorhergehenden Stellen zu berechnen! ... vorausgesetzt natürlich, man setzt die Formel richtig ein. Siehe dazu:
http://math-www.uni-paderborn.de/~aggathen/vorl/2004ws/sem/sebastian-aland.pdf

Sie liefert allerdings die Stellen in Hex-Darstellung.

[robodriver]

Okay, korrigiert mich wenn ich falsch liege.

Aber die ganzen Kettenrechnungen sind doch bestimmt erst entstanden als man die Zahl Pi bereits kannte.
Und sie dienen doch eigentlich nur dazu um möglichst schnell mit wenig Aufwand Pi beliebig genau heraus zu bekommen um damit eventuell weiter zu rechnen wenn mans braucht.

In einer Zeit in der man noch dachte Pi sei z.B. 3,14 da hat man sich ja sicher nicht hin gesetzt und solche Kettenrechnungen auf zu stellen um die anderen Stellen heraus zu finden. Oder?
Man muss doch die Zahl Pi an sich erstmal finden. Und nach dem was ich bisher so gefunden habe in meinem Tabellenbuch geht das nur indem man Die Fläche eines Kreises durch das Quadrat seines Radiuses rechnet. Oder den Umfang durch den Durchmesser dividiert. Das sind doch die einzigen Möglichkeiten Pi heraus zu finden, wenn man die Zahl vorher nicht kennt.

Ich kenn mich mit dem Thema nicht so super tief aus. Vielleicht denk ich auch in eine falsche Richtung.
Aber vielleicht wisst ihr jetzt besser, was genau ich meine.

Mir geht es nicht darum durch irgendeine beliebig lange wilde Rechnung ein Ergebnis zu erhalten, was zufällig 3,14... usw ist. Ich will durch die Grundrechnung Umfang / Durchmesser drauf kommen. So wie man die Zahl Pi halt gaaaanz früher ermittelt hat, als man sie noch nicht kannte.

[oberallgeier]

Hi robodriver,


... wie man die Zahl Pi halt gaaaanz früher ermittelt hat, als man sie noch nicht kannte.Jetzt habe ich Deine Fragestellung verstanden (vorher nicht so richtig *ggg*).

Nun weiß ich leider nicht genau, wer das früher wie gemacht hat. Vielleicht hilft es Dir, wenn wir fragen "... wie man die Zahl Pi halt ermittelt, wenn man Pi und diese Endlosrechnungen nicht so kennt oder nicht so kann". Da hätten wir dann ungefähr den Stand von "früher".

Wir zeichnen dazu einen Kreis mit dem Durchmesser 1. Du machst ein Quadrat um den Kreis >>dessen Seiten<< den Kreis berühren und ein Quadrat in den Kreis >>dessen ECKEN<< den Kreis berühren. Ok? Das Quadrat um den Kreis hat den Umfang 4D, also 4, das Quadrat im Kreis hat den Umfang 4*1/Wurzel2 (vier mal eins durch Wurzel aus zwei) - nach meinem Taschenrechner etwa 2,83 (ich habe keine Lust alle die Stellen abzuschreiben). Nun zeichne wir statt des Quadrates ein Achteck - und rechnen beide Umfänge aus, danach ein 16-eck (oder ein Neuneck oder so - eben immer mehr Ecken). Wieder liegen aussen die Seiten am Kreis an und innen die Ecken. Jedesmal den Umfang berechnen. Je mehr Ecken Dein Vielfacheck hat (Du hast das ja schon ziemlich ähnlich angenähert mit Deinem 100Millionen-eck), umso mehr nähern sich die beiden Umfänge dem Kreisumfang.

Die Anschauung zeigt, das der Umfang des Quadrats, in dem der Kreis eingeschrieben ist, grösser als der Kreisumfang ist, der Umfang des im Kreis eingeschriebenen Quadrates ist aber kleiner als der Kreisumfang. Diese Feststellung betrifft die Umfänge aller Vielecke. Der wahre Umfang des Kreises wird irgendwo dazwischen liegen, egal wieviele Ecken Deine Vielecke haben. Ansporn zu diesem Rechenmarathon: der Umfang von Vielecken, vor allem von regulären, lässt sich relativ einfach berechnen . . . . . Jetzt sag mir aber bitte nicht, dass Du dazu etwas fast noch Komplizierteres brauchst, nämlich die Winkelfunktionen . . . . Es sollte ja nur ein Gedankenexperiment sein.

[SprinterSB]

Okay, korrigiert mich wenn ich falsch liege.

Aber die ganzen Kettenrechnungen sind doch bestimmt erst entstanden als man die Zahl Pi bereits kannte.

Was meist du demm mit "Pi kennen"? Eine Formel kennen? In der Antike waren nur Näherungen wie 3 oder 3+1/8 für Pi geläufig, und es war zunächst nichtmal klar, daß das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises unabhängig von der Größe des Kreises ist.

Einen interressanten historischen Abriss findest du in
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl#Geschichte_der_Zahl_.CF.80_.E2.80.93_von _Sch.C3.A4tzungen_zur_Rekordjagd


Und sie dienen doch eigentlich nur dazu um möglichst schnell mit wenig Aufwand Pi beliebig genau heraus zu bekommen um damit eventuell weiter zu rechnen wenn mans braucht.


Nein, die Formeln dienen idR nicht dazu, auch wenn eineige dazu verwendet werden (können). Die Formeln legen mathematische Zusammenhänge offen. Der Genaue Wert für Pi ist in der Mathe ziemlich irrelevant und uninteressant, genau wie der exakte Wert für e.

Interessant sind die Zusammenhänge wie die fundamentale Euler'sche Identität

http://upload.wikimedia.org/math/3/4/3/343fae930db33e56036848b6cbdf1a26.png

Man muss doch die Zahl Pi an sich erstmal finden. Und nach dem was ich bisher so gefunden habe in meinem Tabellenbuch geht das nur indem man Die Fläche eines Kreises durch das Quadrat seines Radiuses rechnet. Oder den Umfang durch den Durchmesser dividiert. Das sind doch die einzigen Möglichkeiten Pi heraus zu finden, wenn man die Zahl vorher nicht kennt.

Ich kenn mich mit dem Thema nicht so super tief aus. Vielleicht denk ich auch in eine falsche Richtung.
Aber vielleicht wisst ihr jetzt besser, was genau ich meine.

Ja, jetzt ist's endlich klarer ;-)

Für den historischen Abriss s.o., oder Tante Gundel fragen.

[robodriver]

Okay gut, sorry wenn ich mich vorher etwas missverständlich ausgedrück habe.
Jetzt wisst ihr ja worauf ich hinaus will.

Prinzipiell habe ich es unbewusst so gerchnet wie oberallgeier beschrieben hat. zwar nicht mit dem Umfang von n-Ecken aber halt mit dem Pytagoras.
Ich habe mal ein Bild angehangen.
Kreismittelpunkt ist der Koordinatenursprung. Dann berechne ich das Blaue Dreieck. Hypotenuse ist ja gleich dem Kreisradius. also rechne ich einfach inner radius^2 - x^2 und ziehw daraus die Wurzel. Dann habe ich die y-Komponente und weiß die Koordinaten der Dreieckspitze auf dem Umfang.
Das ganze mache ich halt für mehrere x-Werte und berechne dann linear die Strecke der ganzen Koordinaten (grüne Linie). Dann halt nur noch mal 4 und durch den zweifachen Radius.

So. Aber über diese Methode habe ich wie gesagt das Problem, das ich mit einem Radius von 10 Million und 10 Millionen Dreiecken 12 Nachkommastellen heraus bekomme.
Aber mit 60 Million nur noch 11 Stellen.
Und da ist halt die Frage woran das liegen könnte.
Und: Wie man es hin bekommt mehr Stellen zu berechnen. Also wie man diese Rechenmethode "tunen" kann, so das sie genauere Ergebnisse liefert.

Um einen Rundungsfehler bei den Wurzeln und Quadraten aus zu schließen hab ich schon gedacht, vielleicht kann man die Zahlen so weit verändern, das zum schluss als Ergebnis z.B. 314159,26535 usw... raus kommt. Dass also die 12. Nachkommastelle quasi dann die 7. ist. Aber mir ist noch nicht wirklich eine Idee gekommen wie man das sinnvoll umsetzen könnte. Das ganze müsste ja quasi direkt in den Pytagoras eingebaut werden.
Wenn ich danach einfach mit 10.000 Multipliziere ists ja Arschlos...

[oberallgeier]

Hi robo,


... Um einen Rundungsfehler ... aus zu schließen ... die Zahlen so weit verändern, das zum schluss ... z.B. 314159,26535 usw... raus kommt ...... jetzt muss ich noch ein kleines Detail aus der numerischen Mathematik erklären. Die Darstellung ist abgespeckt mit Rücksicht auf Kürze und Verständlichkeit (hoffentlich) und daher mathematisch nicht vollständig und auch nicht allgemeingültig. Wenn Du es kurz machen willst, lies einfach nur den vorletzten Absatz, evtl. noch das Fazit *ggggg* - der Rest ist eigentlich nicht zum Lesen bestimmt.

Digitalrechner rechnen Gleitkommawerte standardmässig u.a. mit einfacher Genauigkeit oder mit doppelter Genauigkeit. Sie rechnen alle Zahlen in binärer Darstellung mit Nullen und Einsen. Jede Zahl (natürlich auch unsere Zahlen aus dem dekadischen Zahlensystem) werden von rechts nach links steigend (das ist einfach eine Vereinbarung) in die Potenzen von zwei aufgeteilt. Steht eine "1" da, ist der Wert der entsprechenden Potenz enthalten, steht eine "0" da, ist die Potenz nicht enthalten. Die erste Stelle ganz rechts repräsentiert den Wert 2° (zwei hoch Null) - also EINS, die zweite Stelle 2 hoch eins - also ZWEI, die dritte Stelle 2² - also vier usw. Daher hat beispielsweise 0101 den (dekadischen) Zahlenwert fünf, nämlich 2° + 2².

Damit kann ich aber nur ganze Zahlen darstellen. Gleitkommazahlen (http://www.rn-wissen.de/index.php/C-Tutorial#float.2C_double_.28Gleitkommazahlen.29) werden in logarithmischer Schreibweise dargestellt. Du weißt aus der Schule (oder hast es wie wir fast alle mehr oder weniger vergessen), dass der Logarithmus einer beliebigen Zahl aus einer Zahl mit Kommastrich besteht: der (landläufig bezeichnet:) Mantisse, also dem eigentlichen Logarithmus - sozusagen - das ist die Ziffernfolge nach dem Komma und dem Exponenten, das ist die Hochzahl, mit der die "Wertigkeit" der delogarithmierten Mantisse bestimmt wird. Klar bis hierher? Halbwegs hoffentlich.

Einfach genaue Zahlen (single precision) werden mit einem Byte = 8 Bit für den Exponenten und (fast) drei Bytes dargestellt. In den 3x8 Bytes ist nämlich auch das Vorzeichenbit enthalten. Mit Vorzeichenbit werden also vier Byte komplett verwendet. Berechnet man daraus die ursprüngliche, dekadische Zahl erhält man eine Ziffernfolge, die auf etwa sieben Stellen genau ist. Dies ist unterstrichen, weil es die eigentliche Aussage dieses ganzen Sermons ist. Du kannst also mit dieser Darstellung die Zahl ╥ (pi) z.B. angeben mit 3,1415926535 - mit der schwarzen Ziffernfolge. Die hellblauen Ziffern sind NICHT mehr fassbar.

Man spricht in diesem Falle, dass mit single precision sieben signifikanten Stellen darstellbar sind. Es ist dabei völlig gleichgültig, ob diese Stellen beliebig aufgeteilt vor oder nach dem Kommastrich stehen - nur die Ziffernfolge ist durch die Mantisse mit den drei Bytes (minus dem Vorzeichenbit) definiert. Die Wertigkeit wird durch den Exponenten bestimmt. Die Darstellung 31415,926535 wird also auf Rechnerbasis die gleiche Mantisse haben. Eine höhere Genauigkeit - sprich: mehr signifikante Stellen - bekommst Du mit double precision - etwa 15 Stellen - dann werden die oben gezeigten blauen Ziffern schwarz - und noch ein paar dazu und pi würde 3,14159 26535 89793 23846 - der Rest ist noch immer nicht darstellbar.

Fazit: Deine Verschiebung des Kommastriches hilft Dir nicht - es zählen bei den hier behandelten Wertdarstellungen nur die signifikanten Stellen.

[SprinterSB]

Dieser Effekt hängt zusammen mit der STabilität des von dir gewählten Verfahrens und der Auflösung der zugrundeliegenden Arithmetik.

Lies mal da, dann wird's vielleicht was klarer:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kondition_(Mathematik)#Interpretation

[robodriver]

Okay, ja das klingt logisch und hätt ich mir auch selber denken können...

Das hieße aber unterm Strich, das es für mich ohne weiteres nicht möglich wäre mehr als 15 Stellen bzw. bei Pi 14 Nachkommastellen zu erreichen.
Meine einzige Möglichkeit bestünde also darin einen eigenen Algorhytmus zu schreiben der dann über ein Array rechnet?

[oberallgeier]

Hi robo,

hast Du schon mal in Kanada´s Websites rumgeguckt (siehe mein Link oben)? Ich nehme mal an, dass Du Windows fährst - wäre das was für Dich? (ftp://pi.super-computing.org/windows)

Wenn Du Dir ansiehst, was die dort für PhD-Thesenpapers haben (PhD - so heißt vielfach in anglo-amerikanischer Sprachweise der Philosophiae Doctor - der aber vorzugsweise ein Doktor der Naturwissenschaften ist, nicht der Philosophie und beispielsweise auch NICHT der medizinische, ja eher praktisch orientierte Doktorgrad - PhD-Thesis ist das "Buch", die Veröffentlichung der "Doktorarbeit", die in DE unumgänglich ist wenn der Titel "Dr" geführt werden soll) dann siehst Du einiges über Eigenwertprobleme und Parallel Computing mit Distributed Memory Maschinen. Nicht ganz das Übliche *ggg*.

Nachtrag:
Hier wird Einiges (http://www.activevb.de/rubriken/kolumne/kol_21/pi.html) zum Berechnen von pi vorgestellt. Beim Runterscrollen wirst Du vielleicht auch Informationen dazu finden, WIE Du die Berechnung anstellen kannst.
Diese Information (http://www.wissenschaft.de/wissenschaft/hintergrund/152772.html) ist alt - von 2001, aber für mich neu. Nach Bailey habe ich nicht weiter gesucht, wie schon erwähnt, bin ich eigentlich kein pi-mal-suchen-Fuzzy.
Ein Berechnungsprogramm (http://www.computerbase.de/lexikon/Super_PI) gibts hier. Ob das nur rechnet oder auch über die Berechnungsart informiert, weiß ich nicht.
Eine Facharbeit (http://www.3pi.org/Mathematik/Facharbeit/altip/facharbeit.htm) könnte einige Grundlagen erhellen - aber ich fürchte, dass viele Facharbeiten von Leistungskurs(ler)n das nicht tun.
Diese Site (http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/PI/index.htm) scheint mir beim Überfliegen recht interessant zu sein. Beeindruckt hatte mich darin die Literaturstelle aus der Bibel, 1. Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 (http://www.bibel-online.net/buch/11.1-koenige/7.html), in dem Pi mit 3 genannt wird . . . . *gggg*. Die gleiche Berechnung steht ja auch noch in der Chronik 2 - da wär mal interessant, nachzugraben. Vermutlich wurde das nicht berechnet sondern beruht auf dem damals üblich und notwendigen Wissen der Leute (Die Autoren der "Chronik", Esra und Nehemia lebten ca 530–430 v. Chr. ).

[robodriver]

Hey, also vielen Dank für die ganzen Links.
Einige davon kannte ich bereits. Hab ja auch schon viel rum gesucht.
Da man ja daran auch viel lernt, habe ich mich jetzt dazu entschlossen eine eigene Routine zu schreiben, mit der ich quadrieren und Wurzel ziehen kann.

Das Quadrieren funktioniert so weit eventuell schon super *gg*
Ich erhalte immerhin 24 Nachkommastellen wenn ich z.B. die Zahl 6.523897114524 quadriere.
Das Kuriose ist: Mein Ergebnis weicht von dem ab, was mir der Windows Taschenrechner ausspuckt...
Da ich aber das Beispiel mit dieser Zahl auch einmal von Hand auf dem Papier nach gerechnet habe und auf das gleiche Ergebnis gekommen bin wie mein Algorythmus, vermute ich mal, das der Windowstaschenrechner hier rundungsfehler drin hat. Da er ja nicht so genau rechnen kann.

Kommt das hin?

Im Prinziep kann ich mit diesem Algorhytmus jetzt unendlich große Zahlen quadrieren :) So weit der Speicher halt reicht...