kleines mathematisches Problem

[Felix G]

Hallo Leute,

ich hatte gerade eine Idee, welche zu einer mathematischen Frage führte die ihr mir hoffentlich beantworten könnt ;)


Ist es möglich Kreise mit gleichem Durchmesser so auf der Oberfläche einer Kugel anzuordnen,
daß sie sich gegenseitig berühren? (bzw. alle den gleichen Abstand voneinander haben)


Falls es möglich ist:
- wie berechne ich die Anzahl der Kreise? (Kugeloberfläche/Kreisfläche geht nicht, da ja noch Lücken zwischen den Kreisen sind)

- wie kann ich die Koordinaten (Polar- und Azimutwinkel) der einzelnen Kreise berechnen?


Gruß,
Felix

[Manf]

Die Innenkreise der Flächen platonischer Körper sollten die Bedingung erfüllen.
Manfred

http://images.google.de/images?hl=de&q=platonische%20K%C3%B6rper&sa=N&tab=wi

http://images.google.de/images?q=tbn:IxZMV1UCLc0UjM:http://dc2.uni-bielefeld.de/dc2/fullerene/images/image3.jpg

[Felix G]

Hmm, ok aber was wenn mir die Anzahl an Flächen eines Ikosaeders nicht mehr ausreicht?
Da müsste ja dann eine geodätische Kugel geeignet sein, zumindest wenn sämtliche Polygone die gleiche Größe haben.

stellt sich nur die Frage welche möglichen Varianten einer solchen Kugel diese Eigenschaft haben.
(ein Fußball z.B. erfüllt diese Anforderung schonmal nicht, wenn ich das richtig sehe)

[Manf]

Ist es möglich Kreise mit gleichem Durchmesser so auf der Oberfläche einer Kugel anzuordnen,
daß sie sich gegenseitig berühren? (bzw. alle den gleichen Abstand voneinander haben)

Die Anordnung der Kreise auf der Kugel bei Berührung der Nachbarn ist mit den platonischen Körpern schon einigermaßen übersichtlich.

Wie ist das mit der Definition gemeit? Vermutest Du einen bisher unbekannten platonischen Körper zwischen dem Iksosaeder und der Ebene? oder soll die Regelmäßigkeit aufgegeben werden?

Bei der Anordnung der Kreise in der Ebene in einem Sechseckraster ist das Flächenverhältnis etwa 0,907. Bei der großen Kugel wird es kleiner sein. (Beim Quadartraster der Kreise in der Ebene liegt es bei 0,785.)
Manfred

http://de.wikipedia.org/wiki/Sechseck

[Felix G]

Die Anordnung der Kreise auf der Kugel bei Berührung der Nachbarn ist mit den platonischen Körpern schon einigermaßen übersichtlich.

Wie ist das mit der Definition gemeit? Vermutest Du einen bisher unbekannten platonischen Körper zwischen dem Iksosaeder und der Ebene? oder soll die Regelmäßigkeit aufgegeben werden?Naja, wenn ich die Kreise wie bei einem Ikosaeder anordne berühren sie sich zwar alle, aber es sind mir zu wenige, bzw. sie sind flächenmäßig zu groß gegenüber der Kugeloberfläche.

Bei einem Ikosaeder habe ich 20 Dreiecke (bzw. bei mir dann eben die Inkreise), ich dachte aber eher an mehrere tausend. Ich muss ja die Anzahl nicht genau festlegen können, es reicht wenn ich ungefähr die Größenordnung beeinflussen kann. Da dachte ich eben zunächst an eine sog. geodätische Kugel, die ja soweit ich weiss aus einem Ikosaeder konstruiert wird. Nun sieht es aber für mich so aus als würden diese Kugeln aus Dreiecken unterschiedlicher Größe bestehen, was für nich eher weniger geeignet ist. (da ja dann auch die Mittelpunkte dieser Dreiecke nicht alle den gleichen Abstand voneinander haben können)


Ich hatte aber gerade noch eine Idee...
es geht mir ja im wesentlichen darum, Kreise bzw. Punkte möglichst gleichmäßig auf einer Kugeloberfläche zu verteilen. Da könnte ich doch diese Punkte entlang einer Spirale auf der Kugeloberfläche verteilen, und zwar in einem Abstand der dem Abstand zweier "Windungen" der Spirale entspricht. Lässt sich etwas schlecht erklären, aber ich vermute daß die Punkte so zumindest annähernd den gleichen Abstand zueinander haben müssten.

[Manf]

Hier steht noch einiges zu den geodätischen Kuppeln:
Es wäre sicher auch interessant was Du damit vorhast, in welcher Größe und Aufbautechnik.

http://www.brefeld.homepage.t-online.de/geodaetische-kuppeln.html

Die geodätischen Kuppeln besitzen also immer genau 12 Fünferecken. Die gleichmäßigste Verteilung dieser Fünferecken entsteht, wenn sie zueinander genau so angeordnet werden wie die 12 Fünferecken eines Ikosaeders, das man auch als einfachste geodätische Kuppel auffassen kann.

Der einfachste Weg, geodätische Kuppeln zu konstruieren, besteht darin, das eben erwähnte Ikosaeder als Ausgangskörper zu verwenden. Indem wir die Ikosaederdreiecke in 4, 9, 16, ... Unterdreiecke unterteilen (siehe Abbildung), entstehen zusätzliche Sechserecken.

[Felix G]

Ich habe inzwischen nochmal darüber nachgedacht und denke,
daß die spiralförmige Anordnung der Punkte auf der Kugeloberfläche wohl die sinnvollste Variante ist.


Hier steht noch einiges zu den geodätischen Kuppeln:
Es wäre sicher auch interessant was Du damit vorhast, in welcher Größe und Aufbautechnik.Naja, ich möchte keine geodätische Kuppel bauen,
es ging mir nur um die Koordinaten der Punkte auf einer (imaginären) Kugeloberfläche.

Wozu ich das brauche?
Ich habe hier schon desöfteren diese sog. Propellerclocks gesehen, und ich habe mich gefragt ob es nicht auch möglich wäre eine zu bauen die nicht flach sondern kugelförmig ist, wobei das gesamte Bild von einer einzigen LED erzeugt werden soll. Anfangs dachte ich mir es wäre doch nett wenn dann auch die Pixel noch gleichmäßig verteilt wären, aber dadurch würde die Sache nur noch komplizierter.


... weiss zufällig Jemand wie schnell man eine LED modulieren kann?


Gruß,
Felix

[Manf]

Wenn Du einen Rechteckgenerator hast und eine LED an einem 1m Kabel, dann kannst Du es bis über einige (10)kHz unmittelbar verfolgen.
Sonst im dunklem Zimmer mit einem Spielgel gekippt auf der Ventilatorschse (über eine Linse).
Es gibt auch Optokoppler mit LEDs für mehr als 10MHz aber das geht nicht so einfach mit jeder.
Manfred