Formel gesucht

[Iceblade]

Einen schönen guten Tag wünsch ich allseits! :D
Ich habe ein Problem bei dem ich die Hilfe der RN-Mathematiker brauche.
Ich habe ein Koordinatensystem. In diesem Koordinatensystem befinden sich zwei Punkte. Um einen der Punkte zieht sich ein Kreis mit dem Radius von 49 und um den anderen Punkt zieht sich ein Kreis mit dem Radius 70. Aus technischen Gründen überlappen sich diese Kreise immer. Die Punkte sind nicht konstant, können also in der Praxis jeden Wert zwischen ( 0/0 ) und ( 98/98 ) annehmen.
Gesucht ist nun eine Formel, mit der man alle Punkte der Schnittfläche der Kreise bestimmen kann. Also eine Parametergleichung der Schnittfläche der Kreise.
Ich habe eine Skizze beigefügt. In ihr ist die Schnittfläche zu sehen von der sämtliche Punkte gefunden werden müssen.
Leider ist mein Wissen über analytische Geometrie jetzt nicht mehr so gut wie noch zur Schulzeit :-k Aber ich kann mich finster erinnern dass es da etwas gab...
Danke schon mal für eure Hilfe!
Grüße,
Iceblade

[PicNick]

Ich bin auch etwas entwöhnt :oops:

r1, r2 und d (Verbindung P Q)
dann die Verbindung der Schnittpunkte w
w/2 ist auch die Höhe eines Dreieckes P Q und ein Schnittpunkt
Das sieht mal schon freundlicher aus

Ein Dreick, die Seiten kennt man

Mit dem Cosinus-Satz kann ich zu den Winkeln kommen
dadurch zu den Kreissektor-Flächen
und von denen zieh' ich die dreiecksfläche ab

Ich kann's jetzt nicht durchziehen, aber vielleicht hilft das ja schon

[jeffrey]

hi,
muss es analytisch sein? sonst würd ich 2 matrizen nehmen, die überall mi 0 füllen, außer da wo die kreise sind mit 1, und dann beide addieren, und zum schluß alle ausgeben lassen, in denen ne 2 steht.
mfg jeffrey

[Rofo88]

Hallo,

ob das so geht???

Zwichen den 2 Schnittpunkten eine gerade und dann die zwei Einzelflächen ausrechnen.

A=0,5(( r ( b-s )+ sh ) http://de.wikipedia.org/wiki/Kreisabschnitt

[BlackDevil]

Mir kommt da spontan die Integralrechnung in den sinn ...

Mit dem Newtonschen Iterationsverfahren Schnittpunkte einer funktion bestimmen

Alledings haben wir hier ja einen kreis ... nun wenn du einen viertelkreis nimmst kannst du dessen länge ja berechnen
Machst du das mit beiden hast zu zwei Graphen inkl funktion

Die funktionen setzt du gleich und stlelst alls auf die Rechte seite um

Und dann kommt der teil den ich vergessen habe - Newtonsches Iterationsverfahren - Schnittpunkte bestimmen

Warte ich such ein skript das ich ma geschriebne habe




Edit:

Wenn du deine Beiden Funktionen gleichgestellt hast kannst du mit hilfe des Horner Schemas die Schnittpunkte bestimmen in dem du solange Zahlen einsetzt (logische halt) bis die Funktion = 0 ist

dann hast du schnittpunkt eins

jenachdem wieviel Wertig deine funktion ist - bei drittgradigen, also funktionen mit dem höchsten exponenten drei, erhälst du nach dem Horner schema eine Quadratische Funktion => ABC oder PQ-formel. dann hast du BEIDE schnittpunkte

Andere Lösung wäre die Newtonsche Iteratin - welche genauer ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_N%C3%A4herungsverfahren

Interressant wirds ab der rekursionsvorschrift. du näherst dich deinem etwaigen Schnittpunkt immer stückchen für stückchen. Folglich geht die Fuktion irgendwann gegen Null: Bam schnittpunkt.
das wäre wohl die programmierer versoin

bin da selbst eingerostet aber das würde mir dauz einfallen

[jeffrey]

hi,
soll die fläche bestimmt werden, oder nur eine formel, mit der man bestimmen kann, ob ein punkt innerhalb der schnittfläche ist?
die schnittpunkte zu bestimmen sollte kein problem sein, das geht ohne geraden oder sowas, einfach die formeln der 2 kreise gleichsetzen.
wenn man nur wissen will, ob ein punkt innerhalb liegt, kein man einfach testen, ob er in beiden kreisen liegt.
(x-m1x)^2+(y-m1y)^2<=r1^2 und (x-m2x)^2+(y-m2y)^2<=r2^2 muss gelten.
mfg jeffrey

[BlackDevil]

Sag ja
beide kreisabschnittsformeln gleichsetzen und dann per horner oder newton schnittpunkte berechnen

[stochri]

Er will aber nicht nur die beiden Schnittpunkte sondern alle Punkte innerhalb der Schnittfläche finden.

Insofern ist das Verfahren von jeffry das richtige. Will man alle Punkt finden, muss man einen Punkt nach dem anderen auf Gültigkeit nach der obigen Formel testen.
Eine Rechenzeitreduzierung könnte man durch eine grobbe Abschätzung erreichen, in welchem Bereich man suchen muss.

[user529]

tut doch einfach was PicNick sagt:


die seiten r1 und r2 sind bekannt die strecke pq ist mit:

pq=sqrt( (x2-x1)²+(y2-y1)²)

einfach auszurechnen.

der winkel zwischen r2 und pq ist ro1 und die andere seite gegengleich


a²=b²+c²-2*b*c*cos alpha_______(cossatz)


in unserem fall dann eben r2²=r1²+pq²-2*pq*r1*cos(ro2)

ein bisschen umstelln und cos ro2 steht vorne..., arccos verwenden:

ro2 = arcos ( ( r2²+r1²+pq²) / (2*pq*r1) ) ____sofern ich keine fehler verbaut habe also nachrechnen!!)

die Fläche des kreissektors lässt sich aus (r2² pi * ro2) / (2*360)___ (2 gekürzt)


vertauschen wier r1 mit r2 und ro1 mit ro2 erhalten wir den zweiten kreisbogen.... (selbermachen macht viel mehr freude)


um uns das ausrechnen der restlichen winkel zu ersparen können wir auch die A=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) verwenden jetzt davon die beiden kreisflächen abziehn und wir bekommen die überschneidung...


mfg clemens

[jeffrey]

hi,
so wie ich das verstanden habe, will er aber nicht die fläche haben, sondern eine möglichkeit zu bestimmen, ob ein punkt innerhgalb der fläche liegtoder nicht. außerdem funktioniert die formel nicht mehr, sobald der mittelpunkt des kleinen kreises innerhalb des großen kreises liegt.
mfg jeffrey

[PicNick]

@jeffrey
Klar, die Lösungen werden leicht virtuell

Wenn er nur wissen will, ob ein Punkt auf der Fläche ist, ist die von Dir oben genannte Methode wohl am besten
Is ja auch eine ganz andere Fragestellung

[BlackDevil]

Dann hab ich ihn falsch verstanden sorry wollte nur helfen ;)