Trägheitsmoment einer Halbkugel

[roboter]

Hallo,

bei einer normalen kugel ist das trägheitsmoment ja 2/5mr^2
Aber wie groß ist es eigentlich bei einer halbkugel (masse homogen verteilt)?

Gruß

[Manf]

Wenn Du eine Kugel mit Trägheitsmoment hast und teilst sie ohne Verluste in zwei Teile, dann müssen die beiden zusammen das gleiche Trägheitsmoment haben.
Haben beide Teile das gleiche Trägheitsmoment, dann ist es jeweils halb so groß.
Manfred

[bad-joker]

Schau mal unter:
www.math.tu-dresden.de/~koksch/lectures/Bauingenieure/BauIng-Ma2-4-script.pdf
Seite 19
Grüsse
Thomas

[shaun]

Zuerst müsste man mal klären, ob die Drehachse mittig durch die Schnittfläche durchtritt oder die Kugelhälfte irgendwie an der Achse rumeiert. Ersteres vorausgesetzt kannst Du das Dreifachintegral für J in einem Dir beliebenden Koordinatensystem lösen (kartesisch ist bäh, Kugel für mich als nicht räumlichdenkenkönnenden Menschen irgendwie verwirrend), Du nimmst ohne Nachdenken die Formel aus zuvor erwähntem .pdf (nach Halbkugel suchen) oder aber Du denkst Dir die Halbkugel aus unendlich vielen Kreisscheiben aufgestapelt, deren Durchmesser von r bis 0 geht. Der Durchmesser in Abhängigkeit der Position auf der Drehachse, nehmen wir mal z=0 auf Höhe der Schnittfläche an dann ist durch x^2+y^2=r^2 gegeben:
y^2=r^2-x^2, das dann in die Formel für das Trägheitsmoment der Scheibe (Formelsammlung musste selbst suchen) und von 0 bis r integrieren, sollte auch passen. Das legt allerdings nahe, dass das Integrieren von -r bis r die Vollkugel liefert und das Ergebnis gerade das Doppelte der vorigen Betrachtung sein muss - ich würde also auch annehme, dass J der Halbkugel halb so gross ist wie das der Vollkugel.

[avr_mcu]

Ergänzung zum vorherigen Beitrag:
Evtl. zu berücksichtigenden Steiner-Anteil (=m*z^2) nicht vergessen...
mit
m = Masse und
z= lotrechter Abstand (Rot.-Achse zu Massenschwerpunkt)

Demnach ergibt sich I(gesamt)=I(null)+I(Steiner)

[shaun]

Bei meinem Vorschlag mit den Kreisscheiben, durch die jeweils mittig die Drehachse hindurchgeht, ist der Schwerpunkt jetzt allerdings nicht so weit vom Massenschwerpunkt entfernt, oder? ;)

[roboter]

Drehachse geht schon mittig durch die Schnittfläche, also kein satz von steiner.

Die Formel ist übrigens auch 2/5*m*r^2, was ja auch sinn macht

[Stoneman]

Das musst du halt nur von 0 bis pi integrieren und nicht bis 2pi

[Shiro]

Hallo,
also wenn man mal die z-Achse als Drehachse nimmt und die Halbkugel mit konstanter Dichte symetrisch zu ihr angeordnet ist, gibt es eine Formel für das Trägheitsmoment:
J = Dichte * (Volumenintegral) (x² + y²) * d(x,y,z)

Nimmt man Dichte = 1 an und setzt die Kugelkoordinaten für x und y ein ergibt sich nach kleinen trigonometrischen Umformungen
a = Winkel zwischen x und y Achse
b = Winkel zwischen x,y-Ebene und z - Achse
r = Radius der Kugel

(Achtung, nicht die Funktionaldeterminante det(Jf) = r²*cosb
beim Einsetzen der neuen Koordinaten vergessen )

J = (Volumenintegral) ( r^4 * cos³(b) * d(b,a,r) )

Wenn man das dann löst, ( cos³ geht wie cos² zu integrieren mit
cos(b) = v'(b) und cos²(b) = u(b) )

kommt raus:

= 1/10 * PI * r^5 * 2/3
geht man jetzt mal zurück und berücksichtigt die Dichte der Kugel, gilt mit der Formel

Masse = Volumen * Dichte:
Volumen der Halbkugel = 2/3*PI*r³

dann wird aus der Formel
= 1/10 * r² * r³ * 2/3 * PI * Dichte

mit Volumen * Dichte:

Trägheitsmoment der Halbkugel = 1/10 * Masse * r²

Also ist das Trägheitsmoment der Halbkugel nur 1/4 von dem der Vollkugel ( 2/5 * Masse * r² )

ich hoffe das war ein bischen hilfreich :)
Ciaoi,

Shiro

[RG]

also haben 2 Halbkugeln zusammen nur das halbe Trägheitsmoment einer Vollkugel?

[Manf]

Eine Halbkugel hat eine Symmetrieachse. Bezüglich dieser Achse hat sie das halbe Trägheitsmoment einer ganzen Kugel.

Abweichende Werte würden beim Trennen und Verbinden von zwei Halbkugeln, die eine Vollkugel bilden, das Trägheitsment verändern.

Neue Erkenntnisse auf dem Gebiet wären sicher in Anbetracht steigender Energiepreise vielversprechend, wurden aber bisher nicht näher betrachtet. O:)
Manfred