Saiten Kraftmesser

[Manf]

Zur Erprobung des Prinzips einer Saiten Kraftmesszelle* habe ich ein Stück 0,2mm Stahldraht mit zwei Aderend-Hülsen versehen und auf zwei Montagestellen gelötet. Die Montagestellen sind 25cm voneinander entfernt, die eine ist fest und die andere ist auf einer Mutter mit Führung. Sie kann mit einer Schraube M3 verstellt werden.

Nachdem der Draht schon etwas gespannt war, habe ich die Schraube noch um eine halbe Umdrehung angezogen und dabei die Drahtspannung mit Membran-Erregerspulen** über die Frequenzänderung beobachtet.

https://www.roboternetz.de/phpBB2/album_pic.php?pic_id=768

Der Draht hat beim Nachspannen seine Frequenz bei der Grundschwingung um 170Hz erhöht, dann war er ja nachher noch nicht zu sehr gespannt, oder?

Manfred

* http://www.digisens.com/55.0.html
** http://www.puk.de/spielplatz/basteln/electro/be5.htm
Mit Membran-Erregerspulen kann man stählerne Kopfhörer Membranen zum schwingen bringen. Durch einen Permanentmagneten im U-förmigen Kern der Spule ist ohne Strom schon eine magnetische Erregung vorhanden und die Kraft auf die Membran (der Betrag Feldstärke) ändert sich so linear mit dem Strom. Eine bewegte Membran oder auch ein bewegter Draht induziert in einer solchen Spule auch eine Spannung.

Bringt man den gespannten Draht in das Feld zweier solcher Spulen und schließt die eine an den Eingang und die andere an den Ausgang eines Verstärkers, dann schwingt der Draht mit Resonanzfrequenz (hier bei der Grundschwingung).

[Manf]

Zum Stahldraht möchte ich noch ein paar Angaben machen.
Er hat einen Elastizitäts-Modul von 210GPa und die Grenze des elastischen Bereichs liegt bei 1000MPa. Sein spezifisches Gewicht liegt bei 7850kg/m³.

Mit dem E-Modul von 210*10^9 N/m2 ergibt sich für die Querschnittsfläche von Pi*r² =3,14*10^-8 eine Kraft von 6597N (“um den Draht auf doppelte Länge zu ziehen“).

Für eine Verlängerung von 0,1% sind es dann 6,6N.
Manfred

[waste]

Hallo Manfred,

eine wahrlich verzwickte Aufgabe! Ich musste zuerst einmal mein altes Physikbuch hervorkramen.

Nach meiner Berechnung hätte sich die Frequenz um 328 Hz verändern sollen. Die Schlussfolgerung daraus: Entweder Draht bereits zu sehr gespannt, also plastisch verformt oder der Versuchsaufbau (Grundplatte) hat nachgegeben, ist selbst elastisch.
Übrigens die Frequenz sollte 716 Hz nicht überschreiten, sonst ist die Saite überspannt.

Jetzt bin ich aber gespannt, ob die Lösung richtig ist.

Gruß Waste

[Manf]

Ja, das mit dem Physikbuch wird schon notwendig sein. Andererseits fand ich es schön, dass man eine solche Präzision mit einem recht einfachen Draht erzeugen kann, das war mir das Nachsehen wert.

Die Halterung habe ich mehrfach stark belastet, entspannt und verbessert bis sich kaum noch Änderungen ergeben haben. Wenn man dann einen 8 stelligen Frequenzmesser anschließt, dann reicht ein 100g Gewicht in der Mitte der Grundplatte, um eine erkennbare Änderung zu erzeugen. Man könnte dann halt doch einen Stahlträger nehmen. Für die 4-5Stellen die geplant sind reicht es so.

714Hz für die Grenzlast habe ich auch herausbekommen. Da habe ich wohl Pi nicht so genau eingesetzt. Bei der Frequenzänderung aber kommt es ja auf die bereits vorhandene Spannung an.


Nachdem der Draht schon etwas gespannt war, habe ich die Schraube noch um eine halbe Umdrehung angezogen
ist etwas umständlich formuliert, ich nehme an die halbe Umdrehung bei einer Steigung von M3: 0,5mm mit 0,25mm oder 0,1% der Länge geht leicht unter. Das war aber gerade ein praktisches Ergebnis beim Experimentieren. Überdehnt war der Draht jedenfalls nicht.

Manfred

[PicNick]

Ein Beispiel für euch zum anschaulichen Vergleich aus dem Leben:
die dünne E Saite einer Gitarre hat
0,23 mm Durchmesser
64,8 mm Mensur (freie Länge)
und bei angehängten 5,94 kg
sollen 329,6 Hz rauskommen (E')
also bei ca 30 cm ca 659 Hz

Da ist von Grenzwerten weit und breit noch keine Rede

[Manf]

64,8 mm Mensur (freie Länge)
Wenn die Miniaturisierung nicht auch hier zugeschlagen hat sind es cm.
Das ist ein gutes Beipiel ich werde es dann auch gleich mal in die Formeln einsetzen und sehen ob der gleiche Stahl herauskommt.
Manfred

[waste]

Ich hab schon 0,25mm Dehnung durch eine halbe Umdrehung angenommen, aber ich bin von null Spannung ausgegangen. Das ist aber Quatsch, da hierbei die absolute Frequenz erst bei 328 Hz liegt und wie ich selbst geschrieben habe die Grenzlast bei 716 Hz liegt, also noch weit darunter. Das hätte ich selbst merken müssen, mit ein wenig nachdenken.

So, jetzt nochmal gerechnet und folgendes heraus bekommen:
Die Frequenz vor dem Nachspannen ist 232 Hz.
Die Frequenz nach dem Nachspannen ist 232 + 170 = 402Hz.
Die Spannung des Drahtes vorher: 105MPa
Die Spannung des Drahtes nachher: 315MPa
Grenzwert: 1000MPa

Das war gar nicht so einfach, konnte auf die Schnelle die Lösung nur numerisch ermitteln. Bin scheinbar für eine analytische Lösung schon zu sehr eingerostet. Muss wohl öfters die Kopfnuss machen.

Waste

[PicNick]

Uiii, :oops: das wär nix für meine Wurstfinger. Gottseidank denkst du ja mit.
Wenn's interessiert, die gängige Formel f. Saiten
k = M / L * (f * 2 * L) ^^2
Kraft
Masse
Länge
Frequenz

[Manf]

Ich habe schon ein bisschen mit den Werten gespielt, damit sie glatt herauskommen. Mit 230Hz vorher und 400Hz nacher entsprechend 3,25N und 9,85N (oder etwa 1kgf).

Das sind sie dann aber auch und perfekt gelöst, (ich hätte schon raten können von wem). In der blauen Kurve ist die Frequenz über der Kraft in Newton aufgetragen und in der grünen Kurve die Frequenzänderung bei der Kaft in Newton pro 0,1% Dehnung. Hier sind die 170Hz Änderung im sicheren Bereich.

Die Aufgabe ist an der praktischen Messung orientiert, denn es ist bei der praktischen Messungen schlecht möglich den Nullpunkt der Drahtspannung und der Frequenz präzise zu bestimmen.

Die Kurven sind bis zur 0,5% Dehnung aufgetragen, im sicheren Bereich. Wie weit der Bereich wirklich geht, das ist etwas von der Definition abhängig.

Die analytische Lösung ist nicht so schwierig (wenn man sie kennt), ich werde sie morgen nachreichen. Die Hauptsache haben wir aber mit der blauen Kurve.
Manfred

[waste]

Hehe, hatte keine Ruhe bis ich selbst die Lösung analytisch gefunden habe.
Ich habe es allerdings nicht über die Kraft sondern nur über die Normalspannung p des Drahtes berechnet.
Die Formeln habe ich aus dem Physikbuch.
Normalspannung p = c² * rho
Ausbreitungsgeschwindigkeit c = f * lambda
rho: spezifisches Gewicht
f: Frequenz
lambda: Wellenlänge
rho und Wellenlänge sind bekannt (7850kg/m³ und 2*0.25= 0.5m)

Es gibt 2 Unbekannte (c und p) und 2 Formeln:
Formel1: p = c² * rho
Formel2: p + delta_p = (c + delta_c)² * rho

delta_p ist die Änderung der Drahtspannung, also 0.1% von 210GPa = 210MPa
delta_c ist die Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit, also 170Hz * 0.5m = 85m/s

Formel1 in Formel2 eingesetzt und Werte eingetragen ergibt:
c² * 7850 + 210E6 = (c + 85)² * 7850
aufgelöst nach c (schön dass sich c² direkt kürzen lässt)
c = (210E6/7850 - 85²)/170
c = 114.86
daraus folgt f = c/lambda = 114.86/0.5 = 229.72 Hz

Der Rest war einfach.

Waste

[Manf]

Ja perfekt, das ist genau das gleiche Ergebnis das ich auch habe.

Ich habe vor, die Betrachtung dann noch mal in einem Thread über den Draht als Aktor weiterführen und auch den Temperatureffekt einbeziehen.

Es geht mir dabei um die übersichtliche Darstellung der Beziehung zwischen Kraft, Weg und Temperatur, jeweils mit Grenzwert (dass man die Kraft dabei auch unmittelbar über die Resonanzfrequenz bestimmen kann, ist vielleicht eine nützliche Zugabe).
Manfred

[Manf]

Dann also noch zur Formel für die Frequenz der Seilwellen, die Phasengeschwindigkeit ist hier unter 5.6.2 Seilwellen hergeleitet.
http://e3.physik.uni-dortmund.de/~suter/Vorlesung/Physik_B2_SS_01/5.2_Mechanische_Wellen.pdf
vp = Wurzel (F / (rho*A) )

mit
Dichte rho= 7850kg/m³
E-Modul= 210GN/m²
Querschnittsfläche A = 3,14*10^-8m²
Frequenz f; --- Frequenzänderung fd= 170Hz
Länge L= 0,25m; --- Längenänderung Ld= 0,00025m
Seilspannung Kraft F; --- Kraftänderung; Fd= E-Modul * A * Ld / L

Die Resonanzfrequenz ist die Phasengeschwindigkeit geteilt durch die Länge (hin und zurück).
f= Wurzel (F / (rho*A) ) / (2 L)

umgeformt ist
F= rho*A*4L²f²
mit k= rho*A*4L²
F= k*f²
Für die Kräfte F1 und F2 mit f2 = f1 + fd gilt
F2 – F1 = k* f2² - k* f1²

(F2 – F1) / k = f1² + 2f1*fd + fd² - f1²
(F2 – F1) / k = 2f1*fd + fd²
(F2 – F1) / k - fd² = 2f1*fd
f1 = (F2 – F1) /2kfd – fd/2
f1 = (E-Modul * A * Ld / L) /2kfd – fd/2
f1 = 229,72Hz

f2 = f1 + fd
f2 = 399,72Hz

Die Zahlenwerte sind mit EXCEL berechnet. Die Berechnung ist sicher auch leicht nachvollziehbar, auch wenn sie in der Textdarstellung leider etwas unübersichtlich aussieht.
Manfred