Festigkeit eines "Balkens"

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Ich spiele mit dem Gedanken ein Katapult (Trebuchet, Triboke, http://de.wikipedia.org/wiki/Trebuchet ) zu bauen. So in Tischmodellgröße etwa.

Nun hänge ich an der Auslegung des Wurfarms fest... Ich habe zwar herausbekommen, dass Holz (Kiefer) eine Biegefestigkeit von 80N/mm² hat (und aus Sicherheitsgründen mit dem Faktor 7 gerechnet weden soll) und eine Zugfestigkeit von 100 N/mm², Druckfestigkeit 45 N/mm²

Ich habe auch schon an einigen Stellen gesucht, aber ich habe keine so eindeutige Definition der Biegefestigkeit gefunden, als dass ich damit zufrieden wäre...

Was ich gefunden habe ist: http://www.fbm.fh-aalen.de/Profumit/Fachinhalte/lernhypertext/festigkeitslehreI/biegespannung/biegespannung.html

Meine Frage ist nun: Wenn ich einen Kiefernstab (10 x 10 mm) von 10 cm Länge, am einen Ende fest eingespannt und am anderen ein Gewicht von sagen wir 10 kg hängen habe - wie groß ist dann die Biegespannung?

Nach dem obigen Link ist dann:
Biegemoment: Mb = F*l (maximales Biegemoment tritt am Schraubstock auf, deswegen l und nicht l/2)
F= m*a = 10kg * 9.81*m/s² = 98,1 N
l = 10 cm = 0.1 m
Widerstandsmoment: Wb = I/e
mit: e = 5 mm = 5*10^-3 m (halbe Balkendicke)
und Flächenträgheitsmoment: I = h³b/12 = 1000*10/12 mm^4 = 833,33 * 10^-12 m^4
Biegespannung: sigmab = Mb / Wb = 58860000 N/m² = 58,86 MN/m²

maximal zulässige Biegespannung: sigma_max = 80N /mm² = 80*10^6 N/m² = 80000000 N/m² = 80 MN/m²

-> es reicht wenn man den Sicherheitszuschlag von 7 weglässt

Kann das sein?

[NRicola]

Naja, es wäre viel Wichtiger, was für'n Gegengewicht du ranhängst! Wenn du nur soviel ranhängst, um die 10 kg aufzuwiegen, dann könnte man damit rechnen - aber das würde noch kein Katapult draus machen - viel eher 'ne Waage. Je größer das Gegenge3wicht, desto stärker würden die 10kg beschleunigt und desto mehr würde der Balken beansprucht.
Grüß
NRicola

ädit: und wie lang würde der Hebel des Gegengewichts sein?

[NRicola]

Okay, wie dem auch sei. Der Berechnungsansatz war schon gar nicht so verkehrt, das Biegemoment errechnet sich wie geschrieben so:

M_b = F * l = m * g * l

wobei hier nun die Werte des Gegengewichts rein müssen.

Die Biegespannung (auch richtig geschrieben):

sigma_b=M_b/W_b

Aber dieses Sigma muss kleiner(gleich) einem maximal zulässigem sigma sein:

sigma_b <= sigma_{bzulässig}

Und in letzterem steckt die Sicherheit mit drin:

sigma_{bzul} = sigma_{bO}/S

Dabei ist sigma_{bO}=80N/mm²
und S=7
Das Widerstandsmoment errechnet sich so:

W_b = I_{xx}/|y_o|

Sieht erstmal anders als das obige aus, isses aber nur zum Teil:
I_{xx} = bh³/12
y_o = h/2
y_o ist also von der Trägheitsachse der maximale Abstand nach oben oder nach unten. Bei Quadratquerschnitt ist es einfach: Trägheitsachse=horizontale Symmetrieachse. Der maximale Abstand wäre nach oben und nach unten genau gleich nämlich exakt h/2.
Schmeißt man nun alles auf einen Haufen, kommt sowas hier in etwa raus: (b=h)

M_b/W_b=sigma_{bO}/S
[(m*g*l)*h*12]/(2*h*h³)=sigma_{bO}/S

Es war also bis hierhin fast alles richtig.
Und nun könnte man einfach mal nach h umstellen und gucken, wie dick der Querschnitt sein muss:

h³=6*m*g*l*S/sigma_{bO}

Nur noch einsetzen - das wär's. Aber die Sicherheit von 7 weglassen wäre falsch. Mit einer Sicherheit von 1 würde man sagen: jawoll: der Träger hält, damit ist gut. Aber man will sich auf solche Berechnungen nicht immer so gerne verlassen. Deshalb hat man diesen Sicherheitsfaktor eingeführt. Es wird quasi eine in diesem Fall 7x größere Last angenommen, der der Balken entgegenwirken kann - er wird also ordentlich überdimensioniert! Nach der Berechnung, die du bereits gemacht hast, würde der Balken zwar dein Gewicht von 10kg halten, aber eine Sicherheit von 7 wäre nicht gewährleistet - man könnte also meinen, dass er evtl nicht sonderlich lange hält. In der Formel hier oben kannst du ausrechnen, wie groß h wirklich sein muss, um die Sicherheit einzuhalten.
Grüß
NRicola

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Danke! Dann stimmt das alles doch irgendwie ein bisschen :D

Aber ist das "Gegengewicht" denn relevant? Das Gegengewicht ist das Wurfgeschoss, also in der Größenordnung 100g und der Hebelarm ist natürlich so dimensioniert das das Gewicht ein wesentlich höheres Drehmoment auf die Achse erzeugt als das Geschoss... Ansonsten wirft das Katapult ja nicht.

Mir ging es auch erstmal ums Verständnis - den Rest kann ich mir jetzt selber ausrechnen :D

Was mir noch Sorgen macht: Das Katapult nimmt ja seine Wurfenergie aus der Lageenergie des Gewichts. Nun überlege ich, ob man das Katapult so optimieren kann, dass möglichst viel der Lageenergie in die Kinetische Energie des Geschosses umgesetzt wird... Denn ein Gutteil der Energie wird ja für die Bewegung des Wurfarms und vor allem des Gewichts draufgehen... (Denn das wird ja nicht schlagartig angehalten werden...)

[user529]

das gegengewicht ist relevant weil es die beschleinigung a der linken masse beinflusst, wenn du das biegemoment im punkt b (kritischer querschnitt) ausrechnen willst dann setzt du die gleichgewichtsbedingungen nur für den halben balken an und das drehmoment das herauskommt um das system stabil zu halten ist dann dein mb

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Achso - das stimmt... Vor allem wird der Balken an sich auch ein gewisses Moment verursachen... Naja. Egal, haupsache ich hab mal eine korrekt funktionierde Formel!